Aufgabe:
$$\textrm{Für } n \in \mathbb{N} \textrm{ sei die Abbildung } f_n \textrm{ durch } f_{n} : \mathbb{R}[x]_{\leq n} \rightarrow \mathbb{R}[x]_{\leq n} \textrm{ vermöge } p \mapsto (p \cdot x)' \textrm{ definiert, wobei } q' \textrm{ die Ableitung eines Polynoms } q \in \mathbb{R}[x]_{\leq n} \textrm{ ist. }$$ $$\textrm{ a) Zeigen Sie, dass } f_n \textrm{ ein Vektorraumhomomorphismus ist!}$$ $$\text{ b) Notieren Sie die zu verwendenden Basen A,B sowie die Matrizen } M^A_B (f_n)\text{ für } n \in \mathbb{N}\text{!}$$
Problem/Ansatz:
a) Die Abbildung f_n ist ja eigentlich nichts anderes als $$f_n(p) = (p \cdot x)' , p \in \mathbb{R}[x]_{\leq n}$$ oder? Sonst weiß ich wie die Aufgabe zu lösen ist.
b) Die Basis A eines Polynom höchstens n-ten Grades ist ja $$A = \{1, x, x^2, ..., x^n\} \text{ . }$$ Also haben ja in dem Sinne sowohl Definitionsmenge und Wertemenge die selben Basen. Ist dann die Transformationsmatrix einfach die Einheitsmatrix oder wie?
