Formel für die Krümmung einer Kurve

Question

Aufgabe:

Sei c: I→\( ℝ^{2} \) eine ebene reguläre (nicht notwendigerweise nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Zeigen sie, dass die Krümmung der Kurve durch die Formel

κ(t)=\( \frac{det(c‘(t),c‘‘(t))}{||c‘(t)||^{3}} \)

gegeben ist.

(Betrachten sie zuerst den Fall c ist nach Bodenlänge parametrisiert und danach den Fall c ist nicht nach Bogenlänge parametrisiert.)

Problem/Ansatz:

An sich habe ich es ganz gut hinbekommen. Allerdings bereitet mir nun der Fall, dass c nicht nach Bogenlänge parametrisiert ist irgendwie Probleme...

Ich wäre über einen Tipp sehr dankbar!

Answer 1

dann hast du den schwierigen Teil bereits gemeistert. Du hast also die Formel gezeigt, nur dass überall s anstatt t steht.

Fasse nun s als Funktion s(t) auf. Berechne nun c'(s(t))=s'(t) c'(s(t))

und c''(s(t))=s''(t)c'(s(t))+s'(t)² c''(s(t))

Setze nun ein. Da s'(t) c'(s(t))
und s''(t)c'(s(t)) parallel zueinander sind, geben sie unter der Determinante 0 als Beitrag. Im Zähler bleibt also nur stehen

s'(t)³ *det(c'(s(t)), c''(s(t))

Und das s'(t)³ kürzt sich mit dem Nenner weg, da dort der selbe Faktor entsteht ( bis auf Vorzeichen ±). Fasse nun c als Funktion von t auf, es ist dieselbe Formel.

Comments

Vielen Dank!

Aber mit welcher Begründung verwende ich die Funktion s(t)? Der Rest ist mir klar. Aber ich kann ja nicht einfach s ohne weitere Begründung verwenden.

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Jede reguläre Kurve ist nach der Bogenlänge parametrisierbar, daher es existiert die Funktion s(t).