Exponentialgleichung lösen: 2e^(2x-3) = e^(-x)

Question

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

$$ 2e^{2x-3} = e^{-x} $$

Ich habe schon unzählige versuche unternehmen mittels ln die Gleichung zu lösen, komme aber nicht aufs richtig Ergebnis..

Das Ergebnis müsste lauten:

$$ \frac{1}{3}ln(0,5) + 1 $$

Wäre super dankbar für jede Hilfe!

LG

Answer 1

2e^(2x-3) = e^(-x)       | * e^x , : 2

e^(2x - 3) * e^(x) = 1/2

e^(2x - 3 + x) = 1/2

e^(3x - 3) = 1/2      |ln

3x - 3 = ln(1/2)

3x = 3 + ln(1/2)

x = 1 + 1/3 * ln(1/2)

Kann man aber auch noch umschreiben. Grund: ln(1/2) = ln(1) - ln(2) = -ln(2)

Comments

Dann hatte ich doch das richtige Ergebnis, habe nur nicht gemerkt, dass -ln(2) = ln(1/2) ( warum verstehe ich ).

Was ich leider nicht verstehe sind deine ersten Umformungen.

Wieso multiplizierst du mit e^x ? Wir haben doch e^-x  

Und wieso bleibt dann rechts 1/ 2 bzw. ja 1 stehen? ist es wegen e^0 = 1 ?

Sorry, das sind sicher gerade Basics die fehlen, kommen aber gerade nicht drauf

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e^(-x)*e^(x) = e^(-x+x)= e^0 = 1 :)

Answer 2

Beide Seiten durch e^-x:

2e^(3x-3)=1

e^(3x-3)= 1/2

3x-3 = ln(1/2)= ln1-ln2 = -ln2

x = (-ln2+3)/3

Answer 3

2*e^{2x-3}=e^{-x}

e^{2x-3}/e^{-x}=1/2

e^{2x-3+x}=1/2

ln(e^{3x-3})=ln(0,5)

3x-3=ln(0,5)

x=1/3*(ln(0,5)+3)

Comments

vielen Dank für deine Antwort.

Wieso wird dann x positiv, wenn es vorher im Bruchstrich negativ gewesen ist(e^-x)?

Ist es wegen der Potenzregel und weil wir mit e die gleiche Basis haben ?

Vielen Dank vorab!

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Ganz genau deswegen ist das so.

e^x=1/e^{-x}