Beweis für die Eindeutigkeit einer Linearen Abbildung

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung f: ℝ³ → ℝ³ gibt, für die gilt:

f(1, -3, 1)=(1, -3, -1), f(2, -2, 4)=(2, -2, -4), f(1, 1, 5)=(1,1, -5)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass f(x,y,z)=(x,y,-z) ist, verstehe aber nicht, wie man beweisen soll, dass nur diese lineare Abbildung existiert.

Kann mir eventuell jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wenn \(\vec{x} \to f(\vec{x})\) eine lineare Abbildung ist, dann existiert mindestens eine Matrix \(A\) für die gilt:$$f(\vec{x}) = A \cdot \vec{x}$$Dort setze ich die gegebenen Werte ein$$A \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -3 & -2 & 1 \\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -3 & -2 & 1 \\ -1 & -4 & -5 \end{pmatrix} \\ \implies A =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -3 & -2 & 1 \\ -1 & -4 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -3 & -2 & 1 \\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$$D.h. das Ergebnis für \(A\) ist genau dann eindeutig, wenn die Matrix aus den drei Eingangs-Vektoren invertierbar ist. In diesem Fall ist$$A =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -3 & -2 & 1 \\ -1 & -4 & -5 \end{pmatrix} \cdot \frac 14 \begin{pmatrix}-7& -3& 2\\ 8& 2& -2\\ -5& -1& 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{pmatrix}$$