Größtmöglichen Definitionsbereich D⊆ℝ2 für Funktionen finden

Question

es geht um folgende Aufgabenstellung:

$$ \begin{array}{l}{\text { Gegeben seien die folgenden Funktionen } z=f(x, y)}\end{array} $$

\begin{array}{l}{\text { a) } z=f(x, y)=\sqrt{4-\left(x^{2}+y^{2}\right)}} \\ {\text { b) } z=f(x, y)=\frac{1}{x+y}} \\ {\text { c) } z=f(x, y)=x^{2}-y^{2}} \\ {\text { d) } z=f(x, y)=\sqrt{1-\cos (x-y)}}\end{array}

$$ \begin{array}{l}{\text { Geben Sie jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich } D \subseteq \mathbb{R}^{2} \text { von } f \text { an. }} \\ {\text { Veranschaulichen Sie die Funktionen durch eine hinreichende Anzahl von }} \\ {\text { Höhenlinien sowie ein Schrägbild! Aussagekräftige Prinzipskizzen genügen! }}\end{array} $$

Fragen:

1.) Wie bestimme ich den Definitionsbereich? In diversen Videos wird immer nur von f(x) gesprochen. Könnte das an Bsp. a) erläutert werden?

2.) Ich habe zu den Höhenlinien ein Video von MathePeter geschaut. In diesem erklärt er, dass man die Funktion nach x oder y umstellt und selber eine Konstante vorgibt, um diese danach einzeichnen zu können. Gibt es dafür einen Plotter online (für Höhenlinien + Funktion)?

3.) Man soll vorher den Definitionsbereich bestimmen, um nicht falsche Werte in die zuvor umgestellte Funktion einzusetzen oder?

LG !

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EDIT:

$$ \begin{array}{l}{\text { a) } z=f(x, y)=\sqrt{4-\left(x^{2}+y^{2}\right)}} \\ {\text { b) } z=f(x, y)=\frac{1}{x+y}} \\ {\text { c) } z=f(x, y)=x^{2}-y^{2}} \\ {\text { d) } z=f(x, y)=\sqrt{1-\cos (x-y)}}\end{array} $$

Answer 1

Definitionsbereich ist die Menge, die man für x,y einsetzen darf.

a) 4 - (x^2 + y^2) ≥ 0 --> x^2 + y^2 ≤ 4 Das entspricht einem Kreis um den Ursprung mit dem Radius 2.

b) x + y ≠ 0 → y ≠ -x

c) x^2 - y^2 → D = R²

d) 1 - cos(x - y) → D = R²

Comments

$$ \begin{array}{l}{\text { a) } z=f(x, y)=\sqrt{4-\left(x^{2}+y^{2}\right)}} \\ {\text { b) } z=f(x, y)=\frac{1}{x+y}} \\ {\text { c) } z=f(x, y)=x^{2}-y^{2}} \\ {\text { d) } z=f(x, y)=\sqrt{1-\cos (x-y)}}\end{array} $$

Sorry da hab ich wohl was vergessen hinzuschreiben, wurde aber korrekt angezeigt. Also bei a) ist über all dem noch eine Wurzel.

Wie bestimme ich denn aber diese Menge die ich einsetzen darf? Doch nicht nur durch stupides Einsetzen oder?

Also bei a) könnte ich mir denken das man nichts einsetzen darf was zu einer negativen Wurzel führen würde.. ?

LG

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Zu a) x,y sind für die Positiven ℝ 1 oder 0 und wenn x positiv ist muss y ≤ x sein. Ist meine Überlegung korrekt ?

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Zu a) x,y sind für die Positiven ℝ 1 oder 0 und wenn x positiv ist muss y ≤ x sein. Ist meine Überlegung korrekt ?

Das verstehe ich nicht.

Eine Wurzel ist nicht definiert, wenn der Radikant negativ ist. Das muss man ausschließen. Also setze ich den Radikanden größer gleich null.

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Alles gut, habe es am Ende nach langem drauf starren verstanden, wie du das gemeint hast. Daher Dankeschön! :)

Bei b) wäre es ja wie du geschrieben hast, da man nicht durch 0 teilen kann.

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Genau. Ich sehe du hast das verstanden.