Stellen x gesucht, an denen die Tangenten an den Graphen Gf den Anstieg m=-3 haben - Quotientenregel anwenden?

Question

Ich habe folgende Funktion gegeben: f(x) = (x^3+2x^2) / (x^2-4)

u= x^3+2x^2                 v= x^2-4

u' = 3x^2 + 4x               v' = 2x

Ich würde die Quotientenregel anwenden:
y' = (u'v - uv') / (v^2)

y' = (x^3+2x^2)*(x^2*4) - (x^3-2x)*2x / (x^2-4)^2

y'= (3x^4-12x^2+2x^2-8) - (2x^4-4x^2) / (x^2-4)^2

y' = (x^4 + 6x^2  - 8 ) / (x^2-4)^2

Answer 1

Zunächst Hebbare Definitionslücken beseitigen

f(x) = (x^3 + 2·x^2)/(x^2 - 4) = x^2/(x - 2)

Ableiten

f'(x) = (x^2 - 4·x)/(x - 2)^2 = -3 --> x = 1 ∨ x = 3

Comments

Wie kommst du auf das, was nach dem ist gleich steht?

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Anstieg m = -3 sollte erfüllt sein.

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Muss ich von der Funktion einfach nur die Ableitung bilden und dann f'(x) in den TR eingeben, um die Nullstellen zu erhalten?

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Du willst hier nicht die Nullstellen der ersten Ableitung haben sondern die Stellen, an denen die Ableitung den Wert -3 annimmt. Bitte rechne das doch mal nach was ich oben aufgeschrieben habe.

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Zunächst Hebbare Definitionslücken beseitigen

f(x) = (x^3 + 2·x^2)/(x^2 - 4)      | ausklammern, 3. binomische Formel

= ( ( x + 2) x^2 ) / ( (x+2)(x-2) )     | kürzen , (x ≠ -2)

= x^2/(x - 2)         | (x≠-2)

Beginnt deine Nachfrage im Kommentar bereits hier? Das ist immer noch f(x). Erst jetzt kommt die Quotientenregel ins Spiel.

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Wie kommst du jetzt auf die Stellen -1 und 3?

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Probiere die Gleichung

(x^2 - 4·x)/(x - 2)^2 = -3

zu lösen. Schaffst du es nicht alleine lass dir von https://www.photomath.net/de/ helfen.

Answer 2

f ( x ) = ( x^3 + 2*x^2 ) / ( x^2 - 4 )
Eine Polynomdivsion ergibt
f ( x ) = x + 2 + ( 4x + 8 ) / ( x^2 - 4 )
f ( x ) = x + 2 +  4 * ( x + 2 ) / [ ( x + 2 ) * ( x - 2 ) ]
f ( x ) = x + 2 +  4 / ( x - 2 )
f ( x ) = x + 2 +  4 * ( x - 2 ) ^(-1)
f ´( x ) = 1 - 4 / ( x-2 )^2
1 - 4 / ( x-2 )^2 = -3
4 = 4 / ( x-2 )^2
( x - 2 ) ^2 = 1
x- 2 = ± 1

x =1
x = 3

Naja. Ist auch nicht wesentlich weniger Arbeit.

Comments

f ( x ) = x + 2 +  4 * ( x - 2 ) ^(-1)
f ´( x ) = 1 - 4 / ( x-2 )2

Wie kommst du denn jetzt auf die -1-4?

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f ( x ) = x + 2 +  4 * ( x - 2 ) ^(-1)
f ´( x ) =  1 +  4 * (-1) ( x - 2 ) ^(-2)
f ´( x ) =  1 -  4 * ( x - 2 ) ^(-2)
f ´( x ) = 1 - 4 / ( x-2 )^2