Beschränktheit der Funktion f(x) = x - √(x^2 + x) beweisen

Question

kann mir jemand bei diesem Beweis der Aussage helfen? Ich kriege keine konkrete obere Schranke bei meinem Ansatz heraus und weiß nicht weiter. Wie zeige ich das?

Comments

Ich kriege keine konkrete obere Schranke bei meinem Ansatz heraus und weiß nicht weiter.

a) Kannst du eventuell einen Grenzwert für x gegen unendlich bestimmen, Stetigkeit zeigen, ...?

b) Andere Idee, falls a) zu wenig bringt: Gibt es lokale Extremstellen?

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c) Für welche x ist der Term positiv?

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Ist es also ausreichend, wie es Mathecoach zeigte, nur den Grenzwert zu berechnen und somit Sup=0 und Inf=-1/2 => Beschränktheit, zu zeigen?

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Ob dieser Ansatz ausreicht, weiß ich nicht, denn er ist auf jeden erheblich umständlicher als nötig, so dass ich ihn nicht gelesen habe.

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@az0815: Kannst du mit deinem Ansatz c) mehr zeigen, als dass die Funktion nach oben beschränkt ist?

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Man kann

Ich kriege keine konkrete obere Schranke bei meinem Ansatz heraus und weiß nicht weiter. Wie zeige ich das?

mit einer komkreten oberen Schranke – obwohl das von der Aufgabe nicht gefordert wird – zeigen.

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@Gast az0815 Kannst du mir helfen? Wie sieht dein Ansatz aus für diese obere Schranke?

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c) Für welche x ist der Term positiv?

Antwort: "Nie!"  liefert sofort eine obere Schranke für die Funktionswerte. Damit ist allerdings die Aussage 4. noch nicht bewiesen.

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Warum nicht einfach \(\displaystyle\vert f(x)\vert=\frac1{1+\sqrt{1+\frac1x}}<\frac12\) für \(x>0\) ?

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Das wäre nun eine obere Schranke für den Betrag von f(x) und damit ist Nr. 4 gezeigt.

Umformung vgl. Antwort von Mathecoach.

Answer 1

Eventuell eine Idee

x - √(x^2 + x)

= (x - √(x^2 + x))·(x + √(x^2 + x)) / (x + √(x^2 + x))

Achtung. Dieser Term gilt nicht mehr für x = 0, weil dann der Nenner 0 wird.

= -x / (x + √(x^2 + x))

= -x / (x + x√(1 + 1/x))

= -1 / (1 + √(1 + 1/x))

für x > 0 ist der Nenner streng monoton fallend. Damit wäre 1 / (1 + √(1 + 1/x)) streng monoton steigend und -1 / (1 + √(1 + 1/x)) auch wieder streng monoton fallend.

Grenzwert für x → unendlich ist denke ich -0.5

Grenzwert für x → 0 wäre 0, das ergibt sich ja auch wenn man direkt 0 in den urspünglichen Term einsetzt.