Limes Superior und Limes Inferior von \(a_n:=(-1)^n\cdot 1/n-2n^2(1+(-1)^n)+n/(n+1)\) mit \(n\in \mathbb{N}\) bestimmen

Question

\(\limsup\) und \(\liminf\) von \(a_n:=(-1)^n\cdot 1/n-2n^2(1+(-1)^n)+n/(n+1)\) mit \(n\in \mathbb{N}\) bestimmen

ich habe herausgefunden, dass die Teilfolge \((a_{2k})\) gegen \(-\infty\) divergiert. Des Weiteren konvergiert \(a_{2k-1}\) gegen \(1\). Sei nun \(H\) die Menge der Häufungspunkte von \(a_n\), dann ist \(H=\{1\}\).

Wie kann ich nun differenzieren, wenn nur ein Element gegeben ist, was nun \(\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\) und \(\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\) ist.

Bzw. was sagt mir das über \((a_n)_n\) aus, wenn \(\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k}=-\infty\) und \(\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k-1}=1\).

Ist \((a_n)_n\) deswegen nach oben beschränkt durch \(1\) und nicht nach unten beschränkt?

Comments

Leibniz nannte sie Vernunftwahrheiten, das sind dadurch aber noch lange keine Tatsachenwarheiten:

Ich denke, dass \(\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=1\).

Answer 1

Beschränkt nach oben muss sie nicht durch 1 sein, es können ja auch Folgengleider größer 1 auftreten.

Allerdings ist lim sup = 1 und lim inf = - ∞ .

Kleinster und größter Häufungspunkt.

Comments

Beschränkt nach oben muss sie nicht durch 1 sein, es können ja auch Folgengleider größer 1 auftreten.

Könntest du die These durch ein Beispiel untermauern? Ich denke nicht, dass es Folgenglieder gibt, die echt größer als 1 sind.

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"muss sie nicht durch 1 sein," bezog sich nur darauf, dass man dies

nicht aus der Kenntnis des lim sup schließen kann.

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Wir haben den Limes Superior wie folgt definiert. Sei \(H\) die Menge der Häufungspunkte und \((a_n)_n\subset \mathbb{R}\) $$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}a_n:=\begin{cases}\sup H, \text{ wenn } (a_n)_n \text{ nach oben beschränkt ist} \\ \infty, \text{ sonst.}\end{cases}$$$$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}a_n:=\begin{cases}\inf H, \text{ wenn } (a_n)_n \text{ nach unten beschränkt} \\ -\infty, \text{ sonst.}\end{cases}$$ In meinem Beispiel ist \(H=\{1\}\). Wie kann man von einer einelementigen Menge das Supremum und das Infmum bestimmen, es gibt ja keinen Bezugspunkt (größer/kleiner).

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Bei einer 1-elementigen Menge ist das sup gleich dem max

also gleich diesem El.

Also ist 1 der größte Häufungspunkt, aber es muss nicht unbedingt

eine obere Schranke sein, selbst wenn es in diesem Fall so ist.

Und weil die eine Teilfolge wirklich  gegen -∞ geht, dann gilt

auch nach deiner Def:

(a_n)_n∈ℕ nach unten unbeschränkt, also lim inf = - ∞

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 \((a_n)_n\) ist ja gerade nur nach oben beschränkt. Nach unten ist sie nicht beschränkt. Oder verstehe ich das falsch? Für gerade \(n\) divergiert die Folge gegen \(-\infty\). Aber kann man das schon an den Eigenschaften der Teilfolgen festmachen?

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(an)n(an)n ist ja gerade nur nach oben beschränkt. Nach unten ist sie nicht beschränkt. Oder verstehe ich das falsch?

Sehe ich auch so !

Das  kann man das schon an den Eigenschaften der Teilfolgen festmachen.

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Also kann man schreiben, dass \((a_n)_n\) nach unten beschränkt ist, wegen der Eigenschaft, dass \(\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k}=-\infty\)?

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Du meinst

kann man schreiben, dass (an)n(an)n nach unten NICHT beschränkt ist,

Das stimmt.

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Ja, das meine ich. Danke.