Was ist die Schnittstelle?

Question

Aufgabe:Ich möchte eine Funktion modellieren, die sich von 0-10 auf der X-Achse wie eine lineare Funktion mit der Steigung 0 verhält, knickfrei in eine Parabel übergeht und anschließend in eine lineare Funktion mit der Steigung 0.9x-15.6 übergeht. Wie kann ich die Stelle berechnen ab dem dies der Fall ist?

Answer 1

Die Parabel gehört zu   f(x) = a*(x-10)^2  also f ' (x) = 2a*(x-10)

An der Übergangsstelle z muss ja gelten

f(z) = 0.9z-15.6    und f ' (z) =   0,9

==>    a*(z-10)^2   = 0.9z-15.6   und   2a*(z-10) = 0,9

==>    a*(z-10)^2   = 0.9z-15.6   und   a = 0,45 / (z-10)

==>  0,45  *(z-10)^2 / (z-10)  = 0.9z-15.6

==>   0,45  *(z-10) = 0.9z-15.6

==>   0,45z-4,5 = 0.9z-15.6

also z = 24,7  und damit   a = 0,0307.

Sieht so aus:

~plot~ 0,0307*(x-10)^2;0.9x-15.6;[[9|30|0|10]] ~plot~

Comments

Wow vielen vielen lieben Dank das war mehr als nur hilfreich

Answer 2

Die Parabel hat die Funktionsgleichung

(1)        f(x) = a·(x-10)²

wegen Scheitelpunkt bei (10|0) und somit

(2)        f'(x) = 2a(x-10)

Für die Stelle x₀ , an der die Parabel in die Gerade übergeht, gilt somit

(3)        f(x₀) = a·(x₀-10)²

und

(4)        f'(x₀) = 2a(x₀-10).

Andererseits gilt aber auch

(5)        f(x₀) = 0,9x₀-15.6

(6)        f'(x₀) = 0,9

Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (3), (4), (5) und (6).