Schnittstelle zweier trigonometrischen Funkrionen ermitteln

Question

Die Aufgabe lautet:

tan²(x) = 2 + 4 * cos²(x)

Wie ermittle ich x?

Ich habe versucht, die trigonometrischen Funktionen anders darzustellen, z.B. tan²(x) als sin²(x)/cos²(x). Zur Lösung des Problems komme ich dennoch nicht.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

z.B. tan²(x) als sin²(x)/cos²(x)

ist eine sehr gute Idee. Benutze außerdem sin^2(x) = 1 - cos^2(x), multipliziere die Gleichung mit cos^2(x) und erhalte eine quadratische Gleichung in cos^2(x), die du mit der pq-Formel lösen kannst.

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Vielen Dank! Die quadratische Gleichung müsste dann 4*cos^4(x)+cos²(x)+1=0 lauten.

cos²(x) = z

Daraus folgt:

z²+z+1=0 und dafür gibt es keine reelle Lösung.

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Sie lautet   4c^4 + 3c^2 - 1  =  0

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Es gilt:$$\frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$Damit kannst du wie folgt rechnen:

$$\left.\tan^2x=2+4\cos^2x\quad\right|+1$$$$\left.1+\tan^2x=3+4\cos^2x\quad\right|\text{den Audruck von oben nutzen}$$$$\left.\frac{1}{\cos^2x}=3+4\cos^2x\quad\right|\cdot\cos^2x$$$$\left.1=3\cos^2x+4(\cos^2x)^2\quad\right|\colon4$$$$\left.\frac14=\frac34\cos^2x+(\cos^2x)^2\quad\right|+\frac{9}{64}$$$$\left.\frac{25}{64}=\frac9{64}+\frac34\cos^2x+(\cos^2x)^2\quad\right|\text{1-te binomische Formel}$$$$\left.\frac{25}{64}=\left(\frac38+\cos^2x\right)^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\pm\frac{5}{8}=\frac38+\cos^2x\quad\right|-\frac38$$$$\left.\cos^2x=\left\{\begin{array}{r}-1\\+\frac14\end{array}\right.\quad\right.$$Da \(\cos^2x\ge0\) ist, kommt nur der positive Wert \(+\frac14\) in Betracht:$$\left.\cos^2x=\frac14\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\cos x=\pm\frac12\quad\right|\arccos(\cdots)$$$$x=\frac{\pi}{3}+n\pi\quad;\quad x=\frac{2\pi}{3}+n\pi\quad;\quad n\in\mathbb Z$$

Answer 2

Hallo,

Setze:

1 +tan^2(x)= 1/cos^2(x)

Setze dann z=cos^2(x) ->quadratische Gleichung 4z^2+3z -1=0 lösen