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Aufgabe:

Ich muss die Mittlere Steigung im Intervall [0;1] berechnen.

Gegeben ist die Funktion: f(x) = x3 und Δx = 1/4


Habt ihr vielleicht eine Idee wie man vorgeht und die Aufgabe berechnet?

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Antwort mit KI erzeugt

Lösung zur Berechnung der mittleren Steigung

Schritt 1: Verständnis der Aufgabe

Die Aufgabe erfordert die Berechnung der mittleren Steigung einer Funktion \(f(x) = x^3\) im Intervall \([0;1]\). Die mittlere Steigung in einem Intervall eines Funktionsgraphen entspricht der Steigung der Sekante, die durch die Punkte am Anfang und Ende des Intervalls verläuft. Diese kann mit der Formel

\( \text{Mittlere Steigung} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \)

berechnet werden, wobei \(\Delta y\) die Änderung des Funktionswertes und \(\Delta x\) die Änderung des x-Wertes im Intervall angibt. Die vorgegebene \(\Delta x = 1/4\) ist hier nicht direkt relevant, da sie für eine andere Berechnungsmethode (zum Beispiel die Approximation der Ableitung oder die Berechnung der mittleren Rate der Veränderung bei kleineren Intervallen) nützlich sein könnte, aber nicht für die Bestimmung der mittleren Steigung über das gesamte Intervall.

Schritt 2: Anwendung der Formel

Um die mittlere Steigung für \(f(x) = x^3\) im Intervall \([0;1]\) zu berechnen, müssen wir die Funktionswerte an den Enden dieses Intervalls bestimmen:

- Für \(x = 0\), \(f(0) = (0)^3 = 0\)
- Für \(x = 1\), \(f(1) = (1)^3 = 1\)

Nun können wir \(\Delta y\) als Differenz der Funktionswerte und \(\Delta x\) als Differenz der x-Werte bestimmen:

- \(\Delta y = f(1) - f(0) = 1 - 0 = 1\)
- \(\Delta x = 1 - 0 = 1\)

Setzen wir diese Werte in unsere Formel ein, erhalten wir:

\( \text{Mittlere Steigung} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{1} = 1 \)

Schlussfolgerung

Die mittlere Steigung der Funktion \(f(x) = x^3\) im Intervall \([0;1]\) beträgt 1.
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