Verständnisproblem Aufgabenstellung

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Wir betrachten Vektoren bezüglich verschiedener Basen im } \mathbb{R}^{3} . \text { Gegeben seien also }} \\ {\text { die Basen } \mathcal{A}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} \text { und } \mathcal{B}=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} \mathrm{mit}}\end{array} $$

$$ v_{1}=\left(\begin{array}{r}{1} \\ {-1} \\ {-1}\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{r}{-1} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{c}{0} \\ {-1} \\ {2}\end{array}\right) \quad \text { und } \quad w_{1}=\left(\begin{array}{l}{6} \\ {7} \\ {4}\end{array}\right), w_{2}=\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right), w_{3}=\left(\begin{array}{l}{3} \\ {3} \\ {2}\end{array}\right)\quad \text { (*)} \quad $$

$$ \begin{array}{l}{\text { Die Notation (*) bedeutet, dass stillschweigend noch die Standardbasis } \mathcal{E}=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}} \\ {\text { im Spiele ist, denn nur mit dieser Basis sind die Koordinatenangaben in }(*) \text { sinnvoll }} \\ {\text { zu interpretieren. Denkbar wäre deshalb auch die (nicht übliche) Schreibweise }}\end{array} $$

$$ v_{1}=\left(\begin{array}{r}{1} \\ {-1} \\ {-1}\end{array}\right)_{\mathcal{E}}=1 \cdot e_{1}-1 \cdot e_{2}-1 \cdot e_{3} . \text { Dies würde zu } v_{1}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)_{A}=1 \cdot v_{1}+0 \cdot v_{2}+0 \cdot v_{3} \quad\text { (usw.)} $$

$$ \begin{array}{l}{\text { führen und die jeweils verwendete Basis erkennen lassen. }} \\ {\text { a) Stellen Sie die Basisvektoren aus } \mathcal{E} \text { sowohl mit Hilfe der Basis } \mathcal{A} \text { als auch }} \\ {\text { mit Hilfe der Basis } \mathcal{B} \text { dar, d.h. bestimmen Sie die Koordinaten } a_{i, j} \text { bzw. } b_{i, j}}\end{array} $$

$$ e_{j}=\left(\begin{array}{c}{a_{1 j}} \\ {a_{2 j}} \\ {a_{3 j}}\end{array}\right)_{\mathcal{A}}=a_{1 j} \cdot v_{1}+a_{2 j} \cdot v_{2}+a_{3 j} \cdot v_{3} \text { bzw. } e_{j}=\left(\begin{array}{c}{b_{1 j}} \\ {b_{2 j}} \\ {b_{3 j}}\end{array}\right)_{\mathcal{A}}=b_{1 j} \cdot w_{1}+b_{2 j} \cdot w_{2}+b_{3 j} \cdot w_{3} ! $$

$$ \begin{array}{l}{\text { Die Koeffizienten werden zu den Matrizen } A=\left(a_{i, j}\right) \quad \text { bzw. } \quad B=\left(b_{i, j}\right)} \\ {\text { zusammengefasst. }}\end{array} $$

$$ \begin{array}{l}{\text { b) Stellen Sie einen beliebigen Vektor } u=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)_{\mathcal{E}}^{t} \text { in den Basen } \mathcal{A} \text { bzw. } \mathcal{B}} \\ {\text { mit Hilfe der Matrizen } A \text { bzw. } B \text { dar! }}\end{array} $$
Problem/Ansatz:

Wie schon in der Überschrift zu lesen, habe ich Probleme diesen ganzen Text zu entwirren und zu erfassen WAS von mir verlangt wird. Auch das WIE es zu lösen ist, ist mir bislang schleierhaft. Ich vermute allerdings, dass es mit Gleichungssysteme lösen zu tun hat. Konkreter verstehe ich z.B. nicht wieso plötzlich etwas von der Standardbasis geschrieben wird(Muss es die nicht immer geben?). Von ℝ³ wären das ja einfach \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) ?

Kann man das leicht verständlich runter brechen?

LG.

Answer 1

Du hast drei Vektoren \(v_1\) bis \(v_3\) im Standardsystem (natürlich - wie sonst) gegeben. Da die drei Vektoren linear unabhängig sind, taugen sie als Basis im \(\mathbb{R}^3\). 'Basis' bedeutet, dass jeder Vektor \(x\) im \(\mathbb{R}^3\) als Linearkombination der \(v_{1,2,3}\) dargestellt werden kann - etwa so: $$x = v_1 \cdot a +  v_2 \cdot b+  v_3 \cdot c$$Im folgenden Bild hab ich die drei Vektoren \(v_{1,2,3}\) (schwarz) eingezeichnet.

Zusätzlich habe ich als Beispiel den Vektor \(q\) (grün) eingezeichnet, der im A-System so lautet:$$q = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}_A =v_1 \cdot 0 + v_2 \cdot 2 + v_3 \cdot 1$$D.h. \(q\) wird als Linearkombination der drei Vektoren dargestellt. Das kann man auch in Matrixform schreiben: $$\begin{aligned} q &= \begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}_A \\ &= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}_A \\ &= \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 6\end{pmatrix}\end{aligned}$$Letzteres sind wieder die Koordinaten von \(q\) im Standardsystem.

Der erste Aufgabenteil lautet nun: Stellen Sie die Basisvektoren \(e_1\), \(e_2\) und \(e_3\) mit Hilfe der Basis A dar. Heißt formal:$$e_1 = v_1 \cdot a_{11}+ v_2 \cdot a_{21} + v_3 \cdot a_{31} \\ e_2 = v_1 \cdot a_{12}+ v_2 \cdot a_{22} + v_3 \cdot a_{32} \\ e_3 = v_1 \cdot a_{13}+ v_2 \cdot a_{23} + v_3 \cdot a_{33} $$Genau wie oben, nur dass statt \(q\) jetzt links die \(e_{1,2,3}\) stehen. Das Ganze wieder als Matrix:$$\begin{aligned}E &= \begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}& a_{13} \\ a_{21} & a_{22}& a_{23}\\ a_{31} & a_{32}& a_{33}\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 2\end{pmatrix}  \cdot A\end{aligned}$$Das \(E\) ist die Einheitsmatrix und rechts steht die noch unbekannte Matrix \(A\). Multipliziert man nun diese Gleichung von links mit der Inversen der Matrix aus den Vektoren der Basis A, so ist die Matrix \(A\) rechts isoliert und es ergibt sich$$A = \begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix} ^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 1\\ -1 & -1 & 0\end{pmatrix}$$Ich habe Dir das für den Vektor \(e_1\) mal beispielhaft graphisch dargestellt

Dort siehst Du die Linearkombination $$\begin{aligned}e_1 &= v_1 \cdot a_{11}+ v_2 \cdot a_{21} + v_3 \cdot a_{31} \\ &= v_1 \cdot 4+ v_2 \cdot 3 + v_3 \cdot (-1)\end{aligned}$$ rot dargestellt. Und man kann sehen, dass die Vektorkette bei \(e_1=(1;0;0)^T\) endet.

Die Spaltenvektoren in \(A\) sind die Basis für \(\mathcal{E}\) bezogen auf das System A.

Das soll für heute genügen (ist schon spät). Falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

PS.: Tipp: Klick auf die Bilder, dann öffnet sich die Szene in Geoknecht3D

Comments

Vielen Dank, dass du dich so spät noch dran gemacht hast, mir zu helfen! Derzeit habe ich keine Fragen, das Beispiel und die Bilder waren sehr aufschlussreich, ist eben doch was anderes wenn man etwas anschaut. Vor allem kann ich jetzt die Notation lesen, mit Buchstaben hatte ich es noch nie so. :)

LG und noch eine schöne Woche (bei dem Wetter)!