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Aufgabe:

Für 0< a < b seien die reellen Folgen (ak)k∈ℕ und (bk)k∈ℕ definiert durch

$$ a_{k+1}:=\sqrt{a_{k}\cdot b_{k}} $$und $$ b_{k+1}:=\dfrac {1} {2}\cdot\left(a_{k}+b_{k}\right) $$mit a1:=a, b1:=b.

Zeigen Sie, dass beide Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren.


Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich hier vorgehen soll. Ich habe beispielhaft a2 und b2 angeschaut, und auch a3 bzw. b3 habe ich bereits auf dem Papier. Hier zeigt sich, dass bk eine Nullfolge sein muss, falls ak nicht stärker wächst.

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Hallo

 das verstehe ich nicht  es ist immer ak+1<=bk+1, denn das eine ist das geometrische Mittel, das andere das harmonische Mittel.  sie nähern sich, wenn ak näher an bk rückt.

sei b>a dann gilt a> a1<b und a<b1<b mit b1>a1

dann a1<a2<b1 usw ak rückt immer näher an bk , wie du auf eine Nullfolge kommst verstehe ich nicht, fang mit a=1, b=2 oder umgekehrt an: a1=√2=1,414..  ;b1=1,5  a2=1,456.. b1=1,457 usw  du siehst sie laufen aufeinander zu

und bk+1-ak+1=(√ak-√bk)^2/2

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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