Grenzwert zweier Folgen zum Quadrat

Question

Hallo

Ich soll bei folgender Aussage entscheiden ob diese wahr ist oder nicht:

Sei a_n und b_n zwei reelle Folgen. Wenn beide konvergieren dann gilt

$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } { ({ a }_{ n }+{ b }_{ n }) }^{ 2 }={ (\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } { a }_{ n }+\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } { b }_{ n }) }^{ 2 }$$

Answer 1

die Funktion f(x)=x^2 ist stetig, also darf man den Grenzwert hineinziehen.

Danach kann man den Grenzwertsatz für Summen verwenden um die rechte Seite zu erhalten.

Answer 2

sei  lim_n→∞ a_n = a   ;      lim_n→∞  b_n = b

lim_n→∞ (a_n + b_n)² = lim_n→∞ (a_n² + 2a_nb_n + b_n²)

                              = a² + 2ab + b²   nach den Grenzwertsätzen

                              = (lim_n→∞ a_n)² + 2 · (lim_n→∞ a_n) · (lim_n→∞ b_n) + (lim_n→∞ b_n)²

                              =  ( lim_n→∞ a_n + lim_n→∞ b_n )²

Gruß Wolfgang