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Hallo

Ich soll bei folgender Aussage entscheiden ob diese wahr ist oder nicht:

Sei an und bn zwei reelle Folgen. Wenn beide konvergieren dann gilt

$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } { ({ a }_{ n }+{ b }_{ n }) }^{ 2 }={ (\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } { a }_{ n }+\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } { b }_{ n }) }^{ 2 }$$

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die Funktion f(x)=x^2 ist stetig, also darf man den Grenzwert hineinziehen.

Danach kann man den Grenzwertsatz für Summen verwenden um die rechte Seite zu erhalten.

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sei  limn→∞ an = a   ;      limn→∞  bn = b

limn→∞ (an + bn)2 = limn→∞ (an2 + 2anbn + bn2)

                              = a2 + 2ab + b2   nach den Grenzwertsätzen

                              = (limn→∞ an)2 + 2 · (limn→∞ an) · (limn→∞ bn) + (limn→∞ bn)2

                              =  ( limn→∞ an + limn→∞ bn )2

Gruß Wolfgang

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