Wendepunkt einer Funktion f(x) = 1/10 x^5 - 1/2

Question

Function: f → x : \( \frac{1}{10} \) x⁵ – \( \frac{1}{2} \)      ...ich muss jetzt den Wendepunkt bestimmen..

Abgeleitet: f(x) = \( \frac{1}{10} \) x5 – \( \frac{1}{2} \) zu:

f'(x) = \( \frac{1}{2} \) x⁵ – \( \frac{1}{2} \)

f''(x) = 2x³

f'''(x) = 6x²

f''(x) = 2x³ = 0

x = 0

f'''(0) = 0 .... heißt das, dass es keinen Wendepunkte gibt? 

Comments

Es ist ƒ⁽⁴⁾(0) = 0 und ƒ⁽⁵⁾(0) ≠ 0, also liegt eine Wendestelle vor.

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Das ist sicher richtig, aber erkläre dem Fragesteller bitte, warum du auf höhere Ableitungen ausgewichen bist, warum und wie das Verfahren hier  funktioniert.

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ich hab ein Fehler beim schreiben gemacht...

Die Formel heißt f(x) = 1/10x⁵ – 1/2x

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Wenn es immer noch um die gleiche Funktion geht, bitte auch dort nachfragen. https://www.mathelounge.de/635162/vollstandige-funktionsuntersuchung-wendetangenten-graph

Hier wurde nun in den Antworten deine neue Funktion diskutiert. Somit ändern wir die Frage besser nicht mehr.

Answer 1

Eine Wendestelle ist eine Extremstelle der ersten Ableitung.

Für Extremstellen einer beliebigen Funktion gibt ein häufig (aber nicht immer) funktionierendes Kriterium (Ableitung 0 und nächsthöhere Ableitung von 0 verschieden) und ein IMMER funktionierendes Kriterium (Ableitung 0 und Vorzeichenwechsel der Ableitung an der bewussten Stelle).

An einer Extremstelle der ersten Ableitung muss also die zweite Ableitung 0 sein, und die zweite Ableitung muss an der bewussten Stelle das Vorzeichen wechseln.

Die zweite Ableitung (2x³) hat an der Stelle 0 eine Nullstelle, und 2x³ wechselt an der Stelle 0 auch das Vorzeichen, denn 2x³ ist für x<0 negativ und für x>0 positiv.

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort!

"2x³ ist für x<0 negativ und für x>0 positiv."

und für x = 0??

Heißt das, das es kein Wendepunkt gibt?

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Untersuche das Vorzeichen der zweiten Ableitung vor und nach der möglichen Wendestelle. Das tust du hier, indem du z.B. f ''(-1) und f ''(1) berechnest.

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"2x³ ist für x<0 negativ und für x>0 positiv."

Das heisst, dass das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der Stelle x = 0 ändert. Somit ist x = 0 eine Wendestelle.

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@Lu

Das tust du hier, indem du z.B. f ''(-1) und f ''(1) berechnest.

Bitte verbreite nicht so einen Unfug. Die Stellen -1 und 1 sind -sinnbildlich gesprochen- Lichtjahre von der Stelle 0 entfernt.

Der Sinngehalt deiner Aussage hätte sich auch um keinen Deut verbessert, wenn du die Betrachtung von f ''(-0,000001) und f ''(0,000001) empfohlen hättest.

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@Sharon_oo2

Wieso fragst du

und für x = 0??

Hast du vorher die Aussage

Die zweite Ableitung (2x³) hat an der Stelle 0 eine Nullstelle,

überlesen?

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@abakus: Verbreite bitte selbst keinen Stuss. Die zweite Ableitung hat genau eine Nullstelle. f(x) ist stetig auf ganz R (Das haben Polynome so an sich man kann Vorzeichen zwischen den Nullstellen mit einem Einsetztest bestimmen). Bei f(x) von dieser Frage kannst du irgendwas links und rechts von 0 nehmen.

Answer 2

Abgeleitet zu:
f'(x) = 1/2x⁴ – 1/2 (Korrektur eines unerheblichen Fehlers)

f'''(0) = 0 .... heißt das, dass es keinen Wendepunkte gibt?

Nein, dass heißt nur, dass die dritte Ableitung keine Auskunft über die Frage liefert.

Mach stattdessen eine kleine Wertetabelle

x	-1	0	1
f(x)	-0,6	-0,5	-0,4

Comments

Deine erste Ableitung ist auch falsch.

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Vielen Dank für die Antwort!..

Wie finde ich den Wendepunkt?

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Zunächst einmal muss ich mich selbst korrigieren: f '(x)=\( \frac{1}{2} \)x⁴. Die Nullstelle der zweiten Ableitung (x=0; hast du richtig festgestellt) ist die einzige Stelle, die für den Wendepunkt in Frage kommt. Wenn du jetzt meine Wertetabelle in ein Koordinatensystem überträgst, siehst du, dass (0| - 0,5) der Wendepunkt ist.

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Ohhh Vielen Dank für die Antwort!  Ich habe jetzt verstanden :)