Vektorenrechnung - unbekannte Punkte A,B gesucht

Question

Aufgabenstellung: Die Punkte A,B und D sind die Eckpunkte der Grundfläche einer geraden dreiseitigen Pyramide mit der Spitze Q (4,1,6). Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes der Grundfläche ABD dieser Pyramide und die Größe des Innenwinkels Alpha am Eckpunkt A.

Dazu habe ich erstmal die Länge der Strecke DQ ausgerechnet, da die die Längen BQ und AQ gleich sein müssen.

DQ= √ (4-3)^2 + (1+1)^2 + (6-2)^2

DQ =  √ 7^2 =  √ 49

DQ = 7

Länge BQ : 7 =  √ (4-x)^2 + (1-x)^2 + (6-x)^2

                   7 =  √

Hier komme ich jetzt nicht weiter, ich würde gerne auf den Punkt B und Punkt A kommen.

Bitte helft mir nur bei der Punktebestimmung, den Rest (Flächeninhalt und Schnittwinkel) möchte ich gerne alleine ausrechnen.

Comments

Ich nehme an, dass D=(3|-1|2) ist; Du hast das nicht geschrieben. Was genau bedeutet gerade Pyramide? ... außer dass alle Mantelflächen gleich groß sind.

Wie ist die Grundfläche der Pyramide ausgerichtet?

---

Es müsste sich um ein gleichseitiges Dreieck handeln, also die Seiten AB, BD, und AD wären gleichlang. Ja, der Punkt D stimmt.

---

Es müsste sich um ein gleichseitiges Dreieck handeln, also die Seiten AB, BD, und AD wären gleichlang.

Ja - davon war ich bereits ausgegangen.

Aber so fehlt noch eine Information. Liegt die Grundfläche der Pyramide vielleicht parallel zur XY-Ebene? hast Du ein Bild in Deiner Aufgabenstellung wo die Pyramide skizziert ist?

---

Nein, ich habe die Aufgabenstellung exakt so übernommen, wie sie dort stand.

---

Ich hätte eine theoretische Idee und zwar hätte ich die Länge 7 und den gegebenen Punkt Q. Kann man dies nicht irgendwie so umstellen, dass ich auf den anderen Punkt A komme, da die Strecke  AQ 7  ist.

---

Kann man dies nicht irgendwie so umstellen, dass ich auf den anderen Punkt A komme, da Punkt A und Punkt Q die Länge 7 besitzen.

Ja klar - nur gibt es unendlich viele Punkte, die diese Eigenschaft haben. Alle diese Punkte liegen auf der Oberfläche einer Kugel, deren Mittelpunkt \(Q\) und deren Radius \(|QD|\) ist.

Und selbst wenn \(|AD|=|QD|\) sein sollte (das ist Tetraeder), dann kommt immer noch jeder Punkt auf einem Kreis in Frage, der senkrecht auf \(QD\) steht und dessen Mittelpunkt identisch zur Strecke \(QD\) ist.

Kurz gesagt: es fehlen noch Information zur Lokalisierung von \(A\) bzw. \(B\).

---

https://de.wikipedia.org/wiki/Pyramide_(Geometrie)#Gerade_Pyramide

Im Link wird "gerade Pyramide" definiert. Die Bildchen könnte man so deuten, als wäre die Achse immer senkrecht zur xy-Ebene ausgerichtet. Ich finde aber im definierenden Text der Wikipedia keinen Teil, der genau das aussagt.

---

Ja - aber ein Körper bzw. eine Pyamide verändert sich doch nicht, nur weil man ihn/sie z.B. kippt oder auf die Seite legt! Es bleibt immer noch der gleiche Körper.

Im übrigen liegt die Z-Koordinate von \(D\) bei 2; warum dann nicht bei 0?

---

Die weiteren Aufgaben wären folgende:

b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Seite [AB].

c) Der Schwerpunkt im Dreieck ABD hat die Koordinaten Ps( 1;1;2). Zeigen Sie, dass der Punkt Ps zur Spitze Q  den Abstand d= 5 LE besitzt.

-

c) Ist der Schwerpunkt nicht der Mittelpunkt der Pyramide? Muss ich doch auch nicht hier:

√ (4-1)^2+ (1-1)^2 + (6-2)^2 = √25 = 5 LE rechnen?

---

Deine Idee mit der Kugel war auch mein erster Gedanke. Dann habe ich geschaut, ob irgendwo "gerade Pyramide" eindeutiger definiert ist. Leider stehr in Wikipedia nichts Explizites dazu.

Nachtrag: Deine Fragen b) , c) und d).  Dann waren das zu Beginn offenbar doch nicht alle Angaben, die du hattest.

---

Die einzige Idee, die ich dazu hätte, wäre folgende: Irgendwelche beliebigen Zahlen einzusetzen, so dass ich auf 7 LE komme, sonst wüsste ich auch nicht, wie ich weiterrechnen soll.

---

Da sind aber auch nicht wirklich hilfreiche Informationen enthalten.

---

Der Schwerpunkt im Dreieck ABD hat die Koordinaten Ps( 1;1;2)

Das ist ein Widerspruch(!), da der Winkel \(QP_SD\) ein rechter sein muss (-> gerade Pyramide!). Das ist so nicht mehr der Fall!

---

Das ist eine Prüfungsaufgabe. Eigentlich sollten die die gegebenen Informationen, welche ich aus einer PA entnehme, schon korrekt sein.

---

Folgendes Bild entsteht, wenn ich Deine Angaben in Geoknecht3D eingebe.

\(Q\), \(D\) und \(P_S\) liegen da, wo angegeben und \(P_S\) ist der Schwerpunkt von \(\triangle ABD\). Die Grundfläche \(ABD\) ist ein gleichseitiges Dreieck.

Aber die Pyramide ist nicht gerade (klick auf das Bild und drehe die Szene)

---

Dann ist es vielleicht gleichschenklig oder ein allgemeines Dreieck? - Wie lassen sich denn dann die Punkte berechnen? - Ich habe alles exakt so übernommen, wie es in der Aufgabenstellung stand.

---

Weißt du, wie man allgemein einen unbekannten Punkt bestimmen kann?

---

Kann es sein dass bei a) die Höhe der Pyramide mit \(\sqrt{17}\) gegeben ist und das \(P_S=(3|1|2)\) ist? ... gib mir Zeit bis heute Abend!

---

Nein, laut der Aufgabenstellung soll die Höhe 5 LE betragen. Auf diesen Wert bin ich auch rechnerisch gekommen. Punkt s ist (1,1,2) laut der Aufgabenstellung. Vielleicht liegt ein Tippfehler vor.

---

Hallo

 so wie du Aufgabe a und D angegeben hast ist deine Länge QD nicht 7 sondern √21. rechne nach 2^2+1^2+4^2 =21  dann kann keine Entfernung in der Pyramide größer sein also auch nicht die zu Ps.

Aufgabe A ist nicht eindeutig lösbar, gerade Pyramide heisst ja nicht dass alle Seiten gleichlang sind. wenn man das aber voraussetzt ist a) noch immer nicht eindeutig lösbar. weil jedes gleichseitige Dreieck in irgendeiner Eben durch D, die die Kugel um Q mit Radius DQ  in einem Kreis schneidet . eine Lösung von a) wäre. also hast du zu wenige Informationen.

 Wenn man Ps hinzunimmt und D richtig ist ist die Aufgabe gar nicht lösbar.

Gruß lul

---

Was hat das denn jetzt mit einer Kugel zutun? Wie kommst du denn auf 2^2 - eigentlich ergibt 4^2-3^2 doch nicht 2^2

---

Deine Rückfrage ist unangebracht. Du hast einen Aufgabentext gepostet, bei dem sehr wesentliche Angaben fehlen.

Alle möglichen Leute haben spekuliert, wie die fehlenden Angaben lauten könnten, dabei kann es durchaus zu Fehleinschätzungen kommen.

Gib uns einfach den VOLLSTÄNDIGEN Aufgabentext, wenn du Hilfe brauchst.

---

Der Aufgabentext ist vollständig. Ich habe ihn mehrmals überprüft. Er stand exakt so da, wie ich ihn gepostet habe.

---

Du wurdest bereits darauf hingewiesen, dass in der (angeblich vollständigen) Aufgabenstellung auch die Koordinaten von D angegeben sein mussten, denn sonst hättest du sie nicht zur Berechnung der Länge der Strecke DQ verwenden können.

Soviel zur Glaubwürdigkeit von

Er stand exakt so da, wie ich ihn gepostet habe.

Nochmal: Wie lautet der vollständige Aufgabentext?

---

PS: Wenn ich mir deine vorherigen Beiträge ansehe, fällt mir folgender Kommentar auf:

du hast verschwiegen, dass der orthogonale Schnittpunkt von Gf und n bereits aus einem vorherigen Aufgabenteil bekannt sein müsste. So etwas kann man doch nicht als "vollständig" bezeichnen!  

...ohne Worte...

---

... ich gehe inzwischen davon aus, dass die X-Koordinate von \(D\) gleich 1 ist (statt 3). (s. meine Antwort unten)

Answer 1

Alles was wir von der Aufgabestellung wissen, fasse ich mal hier zusammen:

Das gleichseitige Dreieck \(\triangle ABD\) bildet die Grundfläche einer geraden Pyramide mit Spitze in \(Q\). Der Schwerpunkt des Dreiecks sei \(P_S\). Die Koordinaten von \(Q\), \(D\) und \(P_S\) sollen sein:$$Q = \begin{pmatrix} 4\\1\\6 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}, \quad P_S = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$$ Sowie der Abstand \(|QP_S|\)$$|QP_S|=5$$Jetzt habe wir schon festgestellt, dass das in sich widersprüchlich ist (s. Kommentare bei der Frage)! Der Abstand und die Koordinaten passen zueinander, ich gehe also davon aus, dass der Fehler in der Aufgabenstellung beim Punkt \(D\) liegt. Ich nehme daher an, dass$$D = \begin{pmatrix} \colorbox{#F00}1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}$$D.h. die X-Koordinate von \(D\) ist nicht 3 sondern 1!

Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes der Grundfläche ABD dieser Pyramide

In einem gleichseitigen Dreiecks fallen Höhen und Seitenhalbierende zusammen. Sei \(h\) die Höhe im Dreieck, so ist die Entfernung eines Eckpunktes zum Schwerpunkt $$|DP_S| = \frac 23 h = 2$$Die Höhe \(h\) steht in Beziehung zur Seite \(a\)$$h=\frac 12 \sqrt 3\, a \implies a = |DP_S| \cdot \sqrt 3 = 2\sqrt 3$$Die Fläche des Dreiecks ist also$$A=\frac 12 ah = \frac 12 \cdot (2\sqrt 3) \cdot \left( \frac 12 \sqrt 3\, \cdot 2\sqrt 3 \right) =3 \sqrt 3 \approx 5,196 $$

Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Seite [AB].

Durch die Position des Schwerpunkts \(P_S\) der Grundfläche ist die Lage der Pyramide fest gelegt.

(klick auf das Bild)

Daraus berechnet man den Punkt \(M_c\) - den Mittelpunkt der Seite \(AB\). Es ist $$M_c= D + \frac 32 \vec{DP_S} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}$$

Und zuletzt noch die Koordinaten von \(A\) und \(B\), nach denen in der Aufgabe gar nicht gefragt wurde!

Die Grundfläche steht senkrecht auf \(QP_S\). Die Seite \(AB\) steht senkrecht auf \(DP_S\). Somit lässt sich der Einheitsvektor \(n\) in Richtung von \(AB\) aus dem Kreuzprodukt von zwei Vektoren in der Ebene der Punkte \(DQP_S\) berechnen$$n = \frac{\vec{QP_S} \times \vec{DP_S}}{\left|\vec{QP_S} \times \vec{DP_S}\right|}  = \frac 15 \begin{pmatrix} 4\\ 0\\ -3 \end{pmatrix}$$Da die Seite \(a\) bereits bekannt ist, kommt man nun direkt zu den Punkte \(A\) und \(B\)$$A = M_c + n \cdot \frac a2 \approx \begin{pmatrix}2.386\\ 2\\ 0.961 \end{pmatrix} \\ B = M_c - n \cdot \frac a2 \approx \begin{pmatrix}-0.386\\ 2\\ 3.039 \end{pmatrix}$$Falls Du noch Fragen hast oder sich die Aufgabenstellung noch mal ändert, so melde Dich ruhig noch mal

Gruß Werner

Comments

Wie kommst du 2/3h =2?

Die Schreibweise verwirrt mich. Wieso wird die Höhe halbiert? Was bedeutet dieses n?

Tut mir leid, aber kann diesen Lösungsweg in keinster Weise nachvollziehen. Die Aufgabe ist total kompliziert.

---

Wie kommst du 2/3h =2?

... die Frage habe ich erwartet; das hatte ich nicht ausreichend erklärt. Die \(2\) ist schlicht \(|DP_S|=2\). Der Abstand der Punkte \(D\) und \(P_S\) ist gleich \(2\).$$|DP_S| = \sqrt{(D-P_S)^2} = \sqrt{(1-1)^2+(-1-1)^2+(2-2))^2}=2$$Und da \(|DP_S|=2\) ist und gleichzeitig \(|DP_S|=\frac 32 h\) ist, muss auch \(\frac 23 h = 2\) sein.

Die Schreibweise verwirrt mich. 

welche genau? Brüche, Wurzeln und Gleichheitszeichen sollten Dir bekannt sein. Und die Absolutstriche geben die Beträge (also Längen) von Strecken oder Vektoren an.

Wieso wird die Höhe halbiert? 

sie wird nicht halbiert? was meinst Du?

Was bedeutet dieses n?

steht im Text der Antwort:

.. der Einheitsvektor n in Richtung von AB ..

bzw.: \(n\) ist ein Vektor der Länge 1, der in Richtung der Seite \(AB\) zeigt. Es ist der kleine rote Vektor beim Punkt \(M_c\) im Bild oben.

Tut mir leid, aber kann diesen Lösungsweg in keinster Weise nachvollziehen.

Hmm ... Schade. Es wäre natürlich extrem hilfreich, wenn Du uns sagen könntest, ab welcher Stelle genau Du nichts mehr nachvollziehenkannst. Dann könnte man da vielleicht Abhilfe schaffen.

---

Wieso ist denn DPS = 2/3 h?

---

Wieso ist denn DPS = 2/3 h?

steht auch im Text:

In einem gleichseitigen Dreiecks fallen Höhen und Seitenhalbierende zusammen. Sei h die Höhe im Dreieck, so ist die Entfernung eines Eckpunktes zum Schwerpunkt \(|DP_S| = \frac 23 h\)

\(P_S\) ist der Schwerpunkt und \(D\) ein Eckpunkt des Dreiecks, was die Grundfläche bildet. Da dieses Dreieck ein gleichseitiges ist, fallen Höhen und Seitenhabierende zsammen und die Höhen schneiden sich in diesem Fall - genau wie es sonst immer die Seitenhalbierenden tun - im Verhältnis \(2 \div 1\). Das heißt, das lange Stück der Höhe (das \(|DP_S|\)) ist genau doppelt so lang wie das kurze Stück (das \(|P_SM_c|\)). Und da die Höhe \(h = |DM_c|\) ist, gilt dann $$|DP_S| = \frac 23 h$$

Dieser Link zum gleichseitigen Dreieck war auch schon in der Antwort. Hast Du Dir das angeschaut? \(|DP_S|\) ist auch gleichzeitig der Radius des Umkreises.

In welche Klasse gehst Du z.Zt.?

---

Ich gehe in die 12.Klasse und wir üben nur die Grundlagen, aber nie solche Anwendungsbeispiele.

---

... wir üben nur die Grundlagen ...

Das Wissen um und beherschen der Abhängigkeiten der Größen im gleichseitigen Dreieck ist Grundlage und Stoff aus der 9.Klasse. Das ist eben das Kreuz mit der Mathematik, da baut eines auf dem anderen auf.

---

... aber nie solche Anwendungsbeispiele.

Ohne solche 'Anwendungsbeispiele' macht das Üben gar keinen Sinn. Da zeigt sich dann erst ob man verstanden hat. Das bloße Wissen um irgendwelche Formeln ist absolut sinnlos.

Gerade dann, wenn es um Ebenen, Geraden und Koordinaten im Raum geht, ist es essentiell, dass man sich ein räumliches Bild verschafft und versteht, was Dinge wie Kreuz- oder Skalarprodukt eigentlich bewirken.