Vektorenrechnung - Parameterform, Koordinatenform & Punkt gesucht

Question

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (1|2|1), B (-1,2,3) und C (-5,2,7) gegeben sowie der Vektor v = (2,-1,2).

Eine Gerade g verläuft durch die Punkte A und B, eine Gerade h verläuft durch den Punkt C und hat den Richtungsvektor v.

g: (1,2,1) + s * (-2,0,2)

h: (-5,2,7) + v * (2,-1,2)

Aufgabe:

Die Gerade h und g spannen eine Ebene auf.

a) Geben Sie für diese Ebene eine Gleichung in Parameterform an und bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene E in Koordinatenform.

Ebenenform: E: x = (1,2,1) + s* (-2,0,2) + [(1,2,1) - (-5,2,7)]

                      E: x = (E: x = (1,2,1) + s* (-2,0,2) + v* (6,0,6)

Koordinatenform verstehe ich nicht.

b) Für eine genaue reelle Zahl a liegt der Punkt Pa (2a,-a,4) in der Ebene e. Ermitteln Sie diese Zahl a.

(2a,-a,4) = (1,2,1) + s* (-2,0,2) + v *(6,0,6)

Answer 1

Hallo

 deine EbenenGleichung ist falsch, die erste versteh ich nicht, die zweite steht bei s und v dieselbe Richtung, also ist das nur eine Gerade.

die 2 Richtungsvektoren der Geraden sind auch Richtungsvektoren der Ebene, einen Aufbukt kannst du einen beliebigen Punkt nehmen, der auf einer der geraden liegt.

für die Koordinatenform  die parameterform auflösen in x=... y=.. z=...ax+by

 oder eine Senkrechte n auf der Ebene bestimmen durch das Vektorprodukt der 2 Richtungsvektoren dann gilt Skalarprodukt $$\vec{n}*\vec{x}=d$$ d durch einsetzen eines Punktes bestimmen.

Gruß lul

Answer 2

Ebenenform: E: x = (1,2,1) + s* (-2,0,2) + [(1,2,1) - (-5,2,7)]    VORSICHT !

                        E: x = (1,2,1) + s* (-2,0,2) + v* (6,0,-6)  (minus vor der letzten 6 !)

und damit hast du das Problem: Die Richtungsvektoren sind kollinear, also ist das

keine Ebenengleichung. Nimm besser den Richtungsvektor der anderen Geraden :

E: x = (1,2,1) + s* (-2,0,2) + v* (2,-1,2)

für die Koordinatenform gibt es eine Möglichkeit mit dem Vektorprodukt oder

wenn du das noch nicht kennst über die drei Gleichungen, die in der Ebenen

-Gleichung stecken:

x = 1 -2s + 2v
y= 2          -v      ==>   v = 2-y   in 1. und 3. einsetzen:
z= 1 +2s + 2v

x = 1 -2s + 2(2-y)  und 3.   z= 1 +2s + 2(2-y)

und aus den beiden das s eliminieren (etwa beide addieren) gibt

=>    x+z = 2 +4(2-y) ==>   x +4y + z = 10

Für c) nimmst am besten die KOO-Form und setzt

(2a,-a,4) ein:

      2a -4a + 4 = 10 
<=>    -2a = 6

<=>      a = -3