Punkte bei Vektorenrechnung bestimmen

Question

Moin, ich stehe leider bei der Vektorrechnung Punkte im Raum etwas auf dem Schlauch und benötige bitte Hilfe.

Geht hierbei um Aufgabe 14. die Teilaufgaben c und e. Wäre über Hilfe sehr dankbar sowie eine Erklärung.

Aufgabe: Der Punkt B soll genau in der Mitte zwischen den Punkten A und C liegen. Geben Sie die Fehleden Koordinaten an.

c) A ( | | ), B (5/8-1), C (0|0|0)

e) A (7|0|3,5) B ( 5|6|4|). C ( | | )

…

Answer 1

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten \(P\) und \(Q\) kann man berechnen indem man zum Ortsvektor von \(P\) die Hälfte des Vektors von \(P\) nach \(Q\) addiert.

Der Punkt B soll genau in der Mitte zwischen den Punkten A und C liegen.

\(\vec{OB} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AC}\).

Comments

leider komme ich nicht ganz mit. Könntest du das evtl mal an einem der beiden Aufgaben zeigen? Wäre super

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Definition. Der Ortsvektor eines Punktes \(P\) ist der Vektor vom Ursprung \((0|0|0)\) zum Punkt \(P\).

Beispiel. Der Ortsvektor des Punktes \((3|-5|7)\) ist der Vektor \(\begin{pmatrix}3\\-5\\7\end{pmatrix}\).

Notation. Der Ortsvektor eines Punktes \(P\) wird mit \(\vec{OP}\) bezeichnet.

Notation. Der Vektor vom Punkt \(P\) zum Vektor \(Q\) wird mit \(\vec{PQ}\) bezeichnet.

Satz. Es ist

        \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}\).

Beispiel. Ist \(P = (3|-5|7)\) und \(Q = (-2|-4| 1)\), dann ist

        \(\begin{aligned}\vec{PQ} &= \begin{pmatrix}-2\\-4\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\-5\\7\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}-2& -& 3\\-4&-&(-5)\\1&-&7\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}-5\\1\\-6\end{pmatrix}\end{aligned}\)

\(\vec{OB} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AC}\)

Einsetzen was bekannt ist. Dann Gleichung lösen.