Gegeben ist die Ebene E:2x1-x2+5x3=7

Question

Untersuchen Sie, ob die Ebene F parallel zur Ebene E ist und berechnen sie den Abstand der Ebenen.

a) F: 4x1-2x2+10x3=18

Wie komme ich hier auf das Resultat?

Answer 1

Hallo Anna,

Lauteten die Ebenengleichungen $$E: \quad 2x_1 - x_2 + 5x_3 = 7\\ F: \space 4x_1 - 2x_2 +10x_3 = 18$$so kann man das in Vektorschreibweise wie folgt schreiben$$E: \quad \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5\end{pmatrix} x = 7; \quad \quad F: \quad \begin{pmatrix} 4\\ -2 \\ 10\end{pmatrix} x = 18$$Der Vektor vorn ist der Normalenvektor der Ebene. Dieser Vektor steht senkrecht auf der Ebene.

Ich habe die beiden Ebenen inklusive ihrer Normalvektoren in Geoknecht3D eingezeichnet.

Wie Du siehst, sehen die beiden Ebenen parallel aus. Und sie sind genau dann parallel, falls ihre beiden Normalvektoren in die gleiche Richtung zeigen. Dazu muss einer von ihnen ein Vielfaches des anderen sein, d.h. es muss gelten$$ \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5\end{pmatrix}  = f \cdot \begin{pmatrix} 4\\ -2 \\ 10\end{pmatrix}$$Das ist hier der Fall! Für \(f=2\) geht obige Gleichung aus. Daraus folgt, dass die beiden Normalvektoren kolinear und die Ebenen parallel sind.

Gruß Werner

Comments

aber wie komme ich nun auf den Abstand?  Ich habe 2*4-1*(-2)+5*(10)-7/ Wurzel 2^2-1^2+5^2 = 9.6 bekommen aber es wäre 0.37

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aber wie komme ich nun auf den Abstand?

bringe beide Gleichungen in die Hessesche Normalform; dazu muss der Normalenvektor die Länge 1 haben und rechts ein positiver Betrag stehen. Also teile durch die Beträge der Normalenvektoren:$$E: \quad \frac1{\sqrt{30}}\begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5\end{pmatrix} x = \frac 7{\sqrt{30}}; \quad \quad F: \quad \frac1{\sqrt{30}}\begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5\end{pmatrix} x = \frac 9{\sqrt{30}}$$Der Abstand \(d\) der Ebenen \(E\) und \(F\) ist dann die Differenz der rechten Seiten$$d = \left| \frac 7{\sqrt{30}} - \frac 9{\sqrt{30}}\right| \approx 0,365$$Bem.: bei der Hesseschen Normalform gibt die rechte Seite den Abstand der Ebene zum Ursprung an.

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vielen dank! ich verstehe nur nicht wie du auf die 9/√30 kommst. Wäre es nicht 18 dort? oder weshalb kürzt man da aber beim 7 nicht?

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vielen dank! ich verstehe nur nicht wie du auf die 9/√30 kommst.

Ich nehme die Ebenengleichungen so, wie sie in der Aufgabenstellung gegeben sind:$$E: \quad \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5\end{pmatrix} x = 7; \quad \quad F: \quad \begin{pmatrix} 4\\ -2 \\ 10\end{pmatrix} x = 18$$Der Betrag von \(n_F^*\), dem Einheitsvektor der Ebene \(F\), ist:$$|n_F^*| = \sqrt{4^2+ (-2)^2+10^2} = 2\cdot \sqrt{30}$$Durch diesen Betrag habe ich die ganze Gleichung dividiert$$\begin{aligned} \frac1{2 \sqrt{30}} \begin{pmatrix} 4\\ -2 \\ 10\end{pmatrix}&= \frac{18}{2 \sqrt{30}} \\ \frac1{\sqrt{30}} \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5\end{pmatrix}&= \frac{9}{\sqrt{30}} \end{aligned}$$und kürze jeweils die \(2\). So erhält man die Hessesche Normalform.

oder weshalb kürzt man da aber beim 7 nicht?

Bei Ebene \(E\) gibt's nichts zu kürzen.