Berechnen Sie die Abstände der Punkte A,B und C

Question

Ich habe folgende Aufgabe: Berechnen Sie die Abstände der Punkte A,B, und C von der Ebene durch dei Punkte P,Q und R.

A (3|3|-4), B (-4|-8|-18), C (1|0|9), P (2|0|4), Q (6|7|1), R (-2|3|7)

1. Aufstellen der Ebenengleichung
E:x= (3|3|-4)+r (1+4, 0-8,19+18) +s(1-3, 0-3, 19+4) das gäbe dann E:x= (3|3|-4)+r (5, 0,37) +s(-2,-3,23) dann das Kreuzprodukt gäbe 295, -189, 1.

Doch die Lösungen sind 4,55 aber ich habe keine Ahnung wie mein Lehrer darauf kommt. Ist mein Ansatz total falsch?

Answer 1

Berechnen Sie die Abstände der Punkte A, B, und C von der Ebene durch die Punkte P, Q und R.

A(3 | 3 | -4), B(-4 | -8 | -18), C(1 | 0 | 9), P(2 | 0 | 4),Q(6 | 7 | 1),R(-2 | 3 | 7)

PQ = [4, 7, -3]
PR = [-4, 3, 3]
PQ ⨯ PR = [4, 7, -3] ⨯ [-4, 3, 3] = [30, 0, 40] = 10·[3, 0, 4]

E: X·[3, 0, 4] = [2, 0, 4]·[3, 0, 4]
E: 3·x + 4·z = 22

d(E, X) = |3·x + 4·z - 22| / √(3^2 + 4^2) = |3·x + 4·z - 22| / 5

d(E, A) = |3·(3) + 4·(-4) - 22| / 5 = 5.8
d(E, B) = |3·(-4) + 4·(-18) - 22| / 5 = 21.2
d(E, C) = |3·(1) + 4·(9) - 22| / 5 = 3.4

Comments

vielen dank!

Answer 2

das Kreuzprodukt gäbe 295, -189, 1

Der Vektor ist dann orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene. Verwende ihn deshalb als Richtungsvektor einer Geraden g durch A. Berechne den Schnittpunkt S von g und E. Berechne dann den Abstand zwischen A und S. Das ist der Abstand des Punktes A zur Ebene E.

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ich habe jetzt (2/0/4)+r(4/7/-4)+s(-4/3/3) gerechnet das gibt mit dem kreuzprodukt 30/0/40= dann habe ich aber im lösungsbuch gesehen es wäre E:3x1+4x3=22

wenn ich aber hier (4/7/-4)+(-4/3/3) dass zusammenrechne kriege ich -4?

Answer 3

Ist mein Ansatz total falsch?

Leider ja. Du musst zuerst die Gleichung der Ebene durch die Punkte P, Q und R aufstellen.

Dann musst du einzeln für A, für B und für C  den Abstand zur Ebene berechnen.

Du hast unnötigerweise die Gleichung einer Ebene durch A, B und C aufgestellt.

Comments

könntest du mir deinen Lösungsweg zeigen. Ich verstehe es immer noch nicht.

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ich habe jetzt (2/0/4)+r(4/7/-4)+s(-4/3/3) gerechnet das gibt mit dem kreuzprodukt 30/0/40= dann habe ich aber im lösungsbuch gesehen es wäre E:3x1+4x3=22

wenn ich aber hier (4/7/-4)+(-4/3/3) dass zusammenrechne kriege ich -4?