Funktionsschar - Ganzrationale Funktionen

Question

Gegeben ist die reelle Funktionsschar fa durch die Gleichung f (x) = 1/a (x-a)^2 (x-2) mit Df= R und aER. Die Graphen der Funktionsschar heißen Gf.

a) Gehen Sie in einer Fallunterscheidung auf die Vielfachheit der Nullstellen der Funktion f in Abhängigkeit von a ein.

b) Weisen Sie nach, dass für die erste Ableitung f' die Gleichung f'(x) = 1/a (3x^2-4x-4ax+4a+a^2)

c) Bestimmen Sie die Werte für a so, dass an der Stelle x=4 der Anstieg der Tangente m= -3/5 beträgt.

b) Ich hätte folgendes hingeschrieben: 1/a  (x^3-2x^2-2ax^2+4ax+

Answer 1

a)

Sollte die Funktion \(f_a(x)=\frac{1}{a}(x-a)^2\cdot (x-2)\) lauten, dann:

Für \(a>0\):$$0=\frac{1}{a}(x-a)^2\cdot (x-2)$$ Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt unmittelbar \(x_1=2 \vee x_2=a\)

Für \(a<0\):$$0=-\frac{1}{a}\cdot (x+a)^2\cdot(x-2)$$ Hier ist wieder \(x_1=2 \vee x_2=-a\)

Den Fall \(a=0\) kann man hier aufgrund des Definitionsbereichs ausschließen, der bei dir nicht richtig ist. Für \(a=0\) entsteht ein sogenannter "umbestimmter Ausdruck" (Teilen durch Null).

b)

(i) Multipliziere aus und verwende die Potenzregel ODER

(ii) Verwende die Produktregel für drei Terme

c)

Löse \(f_a'(4)\overset{!}=-3/5\)