Induktionsanfang (IA) für \(n_0=1\):
$$\sum_{i=1}^{n_0}{i\cdot (2i+1)}=3 \quad \checkmark \\\frac{n_0(n_0+1)\cdot (4n_0+5)}{6}=\frac{2\cdot 9}{6}=3 \quad \checkmark$$
Induktionsvoraussetzung (IV):
$$ \textcolor{#00F}{\ \exists n\in \mathbb{N}:\sum_{i=1}^{n}{i(2i+1)}=\frac{n(n+1)\cdot (4n+5)}{6}\ \,}$$
Induktionsbehauptung (IB)
"\(n\implies n+1\)":$$\sum_{i=0}^{n+1}{i(2i+1)}=\frac{(n+1)(n+2)\cdot (4(n+1)+5)}{6}$$
Induktionsschritt (IS):
$$\sum_{i=0}^{n+1}{i(2i+1)}=\textcolor{#00F}{\ \left(\sum_{i=0}^{n}{i(2i+1)}\right)\ \,}+(n+1)(2(n+1)+1)\overset{(\text{IV})}=\frac{n(n+1)\cdot (4n+5)}{6}+(n+1)(2(n+1)+1)$$ Wir haben also:$$\frac{n(n+1)\cdot (4n+5)}{6}+(n+1)(2(n+1)+1)=\frac{(n+1)(n+2)\cdot (4(n+1)+5)}{6} \quad |\cdot 6$$$$\underbrace{n(n+1)\cdot (4n+5)+6(n+1)(2(n+1)+1)}_{=4 n^3 + 21 n^2 + 35 n + 18}=\underbrace{(n+1)(n+2)\cdot (4(n+1)+5)}_{=4 n^3 + 21 n^2 + 35 n + 18} \quad \Box$$
