Summenzeichen: Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N gilt

Question

Aufgabe: Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:

n

∑ i*(2i+1) = (n*(n+1)*(4n+5))/6    -> wobei die 6 als bruch druntersteht

i=1

Problem/Ansatz:

wie löse ich am besten diese Aufgabe ??

Answer 1

Induktionsanfang (IA) für $n_0=1$:

$$\sum_{i=1}^{n_0}{i\cdot (2i+1)}=3 \quad \checkmark \\\frac{n_0(n_0+1)\cdot (4n_0+5)}{6}=\frac{2\cdot 9}{6}=3 \quad \checkmark$$

Induktionsvoraussetzung (IV):

$$\textcolor{#00F}{\ \exists n\in \mathbb{N}:\sum_{i=1}^{n}{i(2i+1)}=\frac{n(n+1)\cdot (4n+5)}{6}\ \,}$$

Induktionsbehauptung (IB)

"$n\implies n+1$":$$\sum_{i=0}^{n+1}{i(2i+1)}=\frac{(n+1)(n+2)\cdot (4(n+1)+5)}{6}$$

Induktionsschritt (IS):

$$\sum_{i=0}^{n+1}{i(2i+1)}=\textcolor{#00F}{\ \left(\sum_{i=0}^{n}{i(2i+1)}\right)\ \,}+(n+1)(2(n+1)+1)\overset{(\text{IV})}=\frac{n(n+1)\cdot (4n+5)}{6}+(n+1)(2(n+1)+1)$$ Wir haben also:$$\frac{n(n+1)\cdot (4n+5)}{6}+(n+1)(2(n+1)+1)=\frac{(n+1)(n+2)\cdot (4(n+1)+5)}{6} \quad |\cdot 6$$$$\underbrace{n(n+1)\cdot (4n+5)+6(n+1)(2(n+1)+1)}_{=4 n^3 + 21 n^2 + 35 n + 18}=\underbrace{(n+1)(n+2)\cdot (4(n+1)+5)}_{=4 n^3 + 21 n^2 + 35 n + 18} \quad \Box$$

Comments

Bei (2*9)/6

wie kommt man auf die 2?

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2*9=18

18/6=3

steht so original in der Antwort.

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Danke schonmal für die gute Antwort ! :)

Ich verstehe nur noch nicht so ganz, wie man beim Induktionsschritt nach der markierten Stelle auf die +(n+1)(2(n+1)+1 kommt

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es ist $\sum_{i_0=0}^{n+1}{f(i)}=\left(\sum_{i_0=0}^{n}{f(i)}\right)+f(n+1)$. Hierbei ist $f(i)=i(2i+1)$ und dadurch $f(n+1)=(n+1)(2(n+1)+1)$

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ich danke dir vielmals für deine Hilfe. Ich glaube, ich habe alles soweit verstanden. Habe mich an eine Neue Aufgabe  gewagt. Ist dies so richtig? 

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Dies ist so richtig. Vielleicht gibt's formal Dinge zu ändern. Z. B. das "Entspricht-Zeichen" beim Induktionsschritt wirkt etwas seltsam an der Stelle.

I. d. R. ist es gut, dass du zwei Induktionsanfänge gewählt hast, wenn in der Aufgabe nicht stehen würde für welche natürlichen Zahlen das bewiesen werden soll, ansonsten reicht ein $n_0$ zu Beginn. (es kann aber nicht genug Anfänge geben, also das ist nicht falsch)

Ansonsten musst du mir noch erklären, warum du bei der Induktionsvoraussetzung (übrigens nur mit einem "r" geschrieben), als Startwert der Summe $n$ stehen hast.. Da sollte nach wie vor $i=0$ stehen.

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Ich danke dir vielmals für deine Antwort, du hast mir echt sehr weitergeholfen :)

Das entspricht Zeichen  hab ich jetzt korrigiert.

Wenn also in der Aufgabe steht, dass ich auf die Zahl  6 zb Prüfen soll, muss ich das bis 6 mit allen Zahlen durchgehen, richtig? :)

Ups, n=0 habe ich nun auch korrigiert und das r auch :D

Ich danke dir nochmals vielmals !!!

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Wenn also in der Aufgabe steht, dass ich auf die Zahl  6 zb Prüfen soll, muss ich das bis 6 mit allen Zahlen durchgehen, richtig? :)

Meistens steht ja sowas da:

Zeigen Sie für alle $n\in \mathbb{N}$ mit $n\geq 5$, dass $2^n>n^2$.

Dann ist dein Induktionsanfang $n=5$. Wenn es nicht da steht, dann musst du ein wenig herumprobieren. Und wenn du einen Wert gefunden hast, der die Gleichung/Ungleichung/Whatever erfüllt, so teste vorsichtshalber auch noch den Nachfolger!

Bemerkung:

Wenn nur "Zeigen Sie für alle $n\in \mathbb{N}$" da steht, dann musst du gucken, wie ihr die Menge der Natürlichen Zahlen definiert, manchmal ist die $0$ mit inbegriffen, manchmal nicht (dann die $1$ als erster Wert).

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Körper der natürlichen Zahlen?

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Menge, Menge natürlich! Vertauscht ;-)

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Okii, super danke dir!!!