Abbildungen von einer Mege in einen Körper bilden einen Vektorraum

Question

Es steht, sinngemäss, 

dass die Menge aller Abbildungen von einer nichtleeren Menge \(M\) in einen Körper \(\mathbb{K}\) einen K-Vektorraum bilden wenn sie mit einer geeigneten Addition und Multiplikation versehen sind. 
Die Menge aller Abblidungen heisst: \(\mathbb{K}^M.\)
$$ f: M → \mathbb{K} \\ f+g := x ↦ f(x) + g(x) \\ λf := x ↦ λf(x) $$
Was macht die Addition f+g ? 
Es nimmt eine Element x aus der Menge \(M\) und ordnet diesem \(x\) jeweils ein Bild unter \(f\) und ein Bild unter \(g\) zu. 
Dann bildet es die Summe der beiden Bilder. 

Frage 1: Kann mir jemand ein Beispiel dazu machen ? 

Was macht die Multiplikation λf ?  

Es nimmt ein Element \(x\) aus der Menge \(M\) und ordnet dem sein Bild unter \(f\) zu. Danach wird dieses Bild unter \(f\) um das λ-fache gestreckt/gestaucht.

\(\mathbb{K}^M\) ist ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum. 

Damit  \(\mathbb{K}^M\) ein Vektorraum ist, muss es ja die Vektorraumaxiome erfüllen.
Das bedeutet, dass \(\mathbb{K}^M\) bezüglich der Addition eine kommutative Gruppe sein muss, was bedeutet, dass folgendes für die Addition erfüllt sein muss. 

A1) ein Inverses Element: -f gibt mit f+(-f) = 0  für alle f aus \(\mathbb{K}^M.\)
A2) ein neutrales Element: 0-Vektor mit f + 0 = f für alle f aus \(\mathbb{K}^M.\)
A3) assoziativ: f+(g+h) = (f+g)+h für alle f,g,h aus \(\mathbb{K}^M.\)
A4) kommutativ: f+g = g+f für alle f,g aus \(\mathbb{K}^M.\)

Weiter gilt für die Skalarmultiplikation in \(\mathbb{K}^M:\)

S1) α(f+g) = (αf) + (αg) Distributivgessetz 1
S2) f(α+β) = (fα) + (fβ) Distributivgesetz 2
S3) (α*β)*f = a*(b*f) Assoziativität
S4) 1*f = f  1 ist das neutrale Element der Multiplikation. 



Fragen zu VR-Axiomen:

A3) sehe ich nicht. Ich weiss aber dass eine "iteration" von Funktionen assoziativ ist. 
A4) Sehe ich nicht, kann es mir aber Vorstellen weil die Addition in einem Körper kommutativ ist und letztendlich Bilder aus einem Körper addiert werden. 
S3) sehe ich nicht, aber weil die Iteration von Funktionen assoziativ ist, kann ich mir das hier auch vorstellen. 
S4) sehe ich nicht,  ich weiss, aber wenn ich ein Skalar habe, das 1 ist, ist es unter Multiplikation neutral. Woraus kommt aber die 1 her ? Alpha und Beta sind ja skalare, die müssen aus IK kommen, oder? 

und zum Schluss
(3) Woher kommen f,g,h ? Sind das Elemente aus M oder sind das Elemente aus \(\mathbb{K}^M\) ? Vermutlich letzteres.

Answer 1

Sei M := {♦, ♥, ♠, ♣} und \(\mathbb{K}\) := ℚ.

Ferner sei

        f: M → \(\mathbb{K}\) mit f(♦) = 7, f(♥) = 1/2, f(♠) = 13, f(♣) = -3

        g: M → \(\mathbb{K}\) mit g(♦) = -1/3, g(♥) = 0, g(♠) = 1, g(♣) = 355/113.

Ist dann

        h_s : M → \(\mathbb{K}\) mit h_s = f+g

und

         h_m : M→ \(\mathbb{K}\) mit h_m = 2·f,

dann gilt

        h_s(♦) = f(♦) + g(♦) = 7 - 1/3 = 20/3

        h_s(♥) = f(♥) + g(♥) = 1/2 + 0 = 1/2

        h_s(♠) = f(♠) + g(♠) = 13 + 1 = 14

        h_s(♣) = f(♣) + g(♣) = -3 + 355/113 = 16/113

und

        h_m(♦) = 2·f(♦) = 2·7 = 14

        h_m(♥) = 2·f(♥) = 2·1/2 = 1

        h_m(♠) = 2·f(♠) = 2·13 = 26

        h_m(♣) = 2·f(♣) = 2·(-3) = -6.

Fragen zu VR-Axiomen:

Siehst du es jetzt mit den Beispielen?

Woraus kommt aber die 1 her ?

Aus dem Körper, der dem vermeintlichen Vektorraum zugrunde liegt. Du behauptest, \(\mathbb{K}\)^M sei ein K-Vektorraum. Diese Aussage ist so nicht ganz richtig, weil du nicht definiert hast, was K ist. Korrekt ist, dass \(\mathbb{K}\)^M ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum ist. Und genau aus diesem \(\mathbb{K}\) kommt die 1.

Woher kommen f,g,h ?

Aus dem vermeintlichen Vektorraum.

Comments

Stimmt es, das bei deiner Antwort die Zielmenge IK ist?
Denn sie wird mir nicht angezeigt.

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Jetzt müsste sie angezeigt werden. Mathelounge scheint unliebsame Unicode-Zeichen zu entfernen.

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Also anhand von deinem Besipiel sehe ich zwei Abbildungen f und g 

Dann hast du zwei weitere Abbildungen definiert:

hs := f + g 
hm := 2*f

Und die verstehe ich komplett.

Frage:

Wir reden ja über die Menge aller Abbildungen, damit das ein VR ist muss ja auch die Nullabbildung dabei sein. (Die hast du ja nicht erwähnt, aber weil wir wissen, dass wir von allen Abbildungen reden, muss es auch die Nullabbildung geben. 

Wie würde die Aussehen ? 

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z: M → \(\mathbb{K}\) mit z(♦) = z(♥) = z(♠) = z(♣) = 0

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Danke, das wäre dann das Neutrale Element der Addition, oder? 

Also,

f + z = f

z hat keinen Effekt auf f.