Winkel im Dreieck ABC? A ( 5 | 0 | 4 ), B ( 3 | 0 | 0 ) , C ( 5 | 4 | 0 )

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man die Längen der Seiten und die Größen der Winkel im Dreieck ABC ?

A ( 5 | 0 | 4 )

B ( 3 | 0 | 0 )

C ( 5 | 4 | 0 )

Problem/Ansatz:

Vllt kann mir jemand helfen...

Ich versuche die ganze Zeit den Winkel Beta auszurechnen und habe dazu erstmal den Vektor AB mit demVektor AC multipliziert (Ergebnis -4). Dann habe ich die Rechnung aufgestellt: Betrag von Vektor AB * Betrag von Vektor BC * cos Beta = -4 (mir fehlen leider die mathematischen Zeichen auf der Tastatur). Betrag von AB und BC ist beides Wurzel aus 20. Wurzel aus 20 mal Wurzel aus 20 ergibt 20. Also 20 * cos Beta = -4. Das ganze durch 20 geteilt ergibt -1/5= arc cos Beta. Wenn ich das aber in den Taschenrechner (auf Grad eingestellt) eingebe, kommt ca. 101.537 Grad raus und nicht 78,46 Grad wie es eigtl sein müsste. Bin etwas verzweifelt, da ich meinen Fehler nicht finde, vielleicht kann mir jemand helfen

Dasselbe ist mir auch bei der darauffolgenden Aufgabe beim Winkel Beta passiert.

Ich weiß auch, dass wenn ich 180-101,537 rechne, dass dann 78,46 rauskommt aber irgendwo liegt ja dann trotzdem ein Fehler vor oder nicht?

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Ok leider finde ich meinen Fehler bei der anderen Aufgabe immer noch nicht. Die Koordinaten sind: A (5|1|5), B(5|5|3), C(3|3|5).

Vektor AB: (0|4|-2), Betrag: Wurzel aus 20

Vektor BC: (-2|-2|2), Betrag: Wurzel aus 12

Vektor AC: (-2|2|0), Betrag: Wurzel aus 8

Ergebnis für Alpha (Vektor AB mal Vektor AC= 6, 6/Wurzel aus 20* Wurzel aus 8)= 61.8 Grad

Ergebnis für Beta (Vektor BA mal Vektor BC= 10, 10/Wurzel aus 20 * Wurzel aus 12)= 49.8 Grad

Ergebnis für Gamma (Vektor BC mal Vektor AC = 0, 0/ Wurzel aus 12 * Wurzel aus 8)= 90 Grad

Aber das zusammengerechnet ergibt nunmal leider nicht 180 Grad und ich find den Fehler schon wieder nicht

Answer 1

Das hast du eigentlich schon ganz gut gemacht:

Ich versuche die ganze Zeit den Winkel Beta auszurechnen und habe dazu erstmal den Vektor AB mit demVektor AC multipliziert (Ergebnis -4).    Das ist dann allerdings ALPHA !  Beide Vektoren beginnen ja in A   !

Vermutlich soll das aber BC heißen ???

Du musst aber immer in dem Punkt beginnen, wo der Scheitel des Winkels ist, also  BA*BC und das

ist dann 4 und nicht -4.

Dann habe ich die Rechnung aufgestellt: Betrag von Vektor BA * Betrag von Vektor BC * cos Beta = 4 

Betrag von BA und BC ist beides Wurzel aus 20. Wurzel aus 20 mal Wurzel aus 20 ergibt 20. Also 20 * cos Beta = plus 4. Das ganze durch 20 geteilt ergibt 1/5= arc cos Beta. Wenn ich das aber in den Taschenrechner (auf Grad eingestellt) eingebe, kommt jetzt wirklich  78,46 Grad  raus !!!

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Okay super vielen lieben Dank, dass ist dann vermutlich auch der Fehler bei der anderen Aufgabe!

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Ok leider finde ich meinen Fehler bei der anderen Aufgabe immer noch nicht. Die Koordinaten sind: A (5|1|5), B(5|5|3), C(3|3|5).

Vektor AB: (0|4|-2), Betrag: Wurzel aus 20

Vektor BC: (-2|-2|2), Betrag: Wurzel aus 12

Vektor AC: (-2|2|0), Betrag: Wurzel aus 8

Ergebnis für Alpha (Vektor AB mal Vektor AC= 6, 6/Wurzel aus 20* Wurzel aus 8)= 61.8 Grad

Ergebnis für Beta (Vektor BA mal Vektor BC= 10, 10/Wurzel aus 20 * Wurzel aus 12)= 49.8 Grad

Ergebnis für Gamma (Vektor BC mal Vektor AC = 0, 0/ Wurzel aus 12 * Wurzel aus 8)= 90 Grad



Aber das zusammengerechnet ergibt nunmal leider nicht 180 Grad und ich find den Fehler schon wieder nicht

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Ergebnis für Alpha (Vektor AB mal Vektor AC= 8,

arccos(8/(Wurzel aus 20* Wurzel aus 8))= 50,8 Grad.

Ergebnis für Beta (Vektor BA mal Vektor BC= 12,

arccos (  12/(Wurzel aus 20 * Wurzel aus 12)) = 39.2 Grad

Dann passt es !

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Ok danke, hab meinen Fehler jetzt auch gefunden, ja rechnen sollte man schon können...

Danke auf jeden Fall!

Answer 2

Ich versuche die ganze Zeit den Winkel Beta auszurechnen und habe dazu erstmal den Vektor AB mit dem Vektor AC multipliziert (Ergebnis -4). Das ist falsch.

\( \vec{AB} \) =\( \begin{pmatrix} -2\\0\\-4 \end{pmatrix} \) und \( \vec{AC} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\4\\-4 \end{pmatrix} \). Das Slalarprodukt ist 16.

Dann habe ich die Rechnung aufgestellt: Betrag von Vektor AB * Betrag von Vektor BC * cos Beta = -4 (mir fehlen leider die mathematischen Zeichen auf der Tastatur). Betrag von AB und BC ist beides Wurzel aus 20. Auch das ist falsch. Vermutlich lag der Fehler schon bei der Berechnung von \( \vec{AB} \) =\( \begin{pmatrix} -2\\0\\-4 \end{pmatrix} \) und \( \vec{AC} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\4\\-4 \end{pmatrix} \). Die Beträge sind √20 und √32.

Wurzel aus 20 mal Wurzel aus 20 ergibt 20. Folgefehler. Das Produkt der Beträge ist dann 8·√10.

Also 20 * cos Beta = -4. Das ganze durch 20 geteilt ergibt -1/5= arc cos Beta.

Meiner Meinung nach lautet die Formel etwas anders. 

8·√10=cos(β)·16 (bei mir: 16=cos(β)·8·√10)