Antwort mit KI erzeugt
Lösung des Gleichungssystems
Um diese Aufgabe zu lösen, betrachten wir jede Bedingung getrennt und analysieren das Ergebnis bezüglich der Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\).
Das Gleichungssystem hat keine Lösung
Dieser Fall tritt ein, wenn die Gleichungen parallel sind, aber nicht dieselben Linien darstellen, d.h., sie haben ähnliche Steigungen, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Wenn \(a = 3\), sieht die erste Gleichung wie folgt aus: \(2x - 3y = b\). Um die ähnlichen Steigungen (Parallelität) sicherzustellen, muss der Koeffizient von \(y\) in der zweiten Gleichung, wenn man diese mit 3 multipliziert, identisch sein, also \(3 \cdot 2y = 6y\), was bedeutet, \(c\) muss \(2\) sein, damit die Gleichungen parallel sind, da dann beide Gleichungen die Form \(2x - 3y =\) Konstante haben würden.
Das Gleichungssystem hat also keine Lösung, wenn \(a = 3\), \(b \neq 5\) (oder \(b\) ist nicht das Ergebnis des Einsetzens des gleichen \(x\) und \(y\) in beide Gleichungen), und \(c = 2\).
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen
Dies tritt auf, wenn beide Gleichungen identisch sind, also das gleiche grafische Bild haben. Mit \(a = -1\), wird die erste Gleichung: \(2x + y = b\). Damit sie identisch mit der zweiten Gleichung ist (\(cx + 2y = 5\)), müssen ihre Koeffizienten proportional sein.
\(c\) muss also halb so groß sein wie der Koeffizient von \(x\) in der ersten Gleichung, d.h. \(c = 1\), und \(b\) muss gleich \(5\) sein, damit beide Gleichungen identisch sind.
Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen, wenn \(a = -1\), \(b = 5\), und \(c = 1\).
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung
Ein eindeutiges Lösungsset liegt vor, wenn die Gleichungen nicht parallel sind, also, wenn ihre Steigung verschieden ist. Für \(a = 2\) und \(b = -5\), nimmt unsere erste Gleichung die Form \(2x - 2y = -5\) an. Damit die Gleichungen nicht parallel sind und genau eine Lösung haben, darf der Wert von \(c\) nicht so sein, dass \(cx\) und \(2x - 2y\) in eine direkte Proportionalität gebracht werden können, die die Gleichungen abhängig oder parallel machen würde. Da die erste Gleichung bereits durch Vereinfachung oder Umschreiben nicht die Form der zweiten Gleichung annimmt, gilt hier, dass, solange \(c\) nicht die Steigungen der Gleichungen identisch macht, es eine eindeutige Lösung gibt. Da \(c = 1\) bereits für unendlich viele Lösungen benutzt wurde und \(c = 2\) für keine Lösung, kann \(c\) wirklich jeden Wert außer \(1\) annehmen, um sicherzustellen, dass es genau eine Lösung gibt, die spezifiziertere Bedingung \(c \neq 2\) beachtend, die wir aus dem ersten Szenario gezogen haben.
Das Gleichungssystem hat also genau eine Lösung für \(a = 2\), \(b = -5\), und \(c \neq 1\) (unter der Berücksichtigung, dass \(c\) nicht die Steigungen der Gleichungen identisch macht).
