Erkennen von Bildungsgesetz und Reihe aus einer gegebenen Folge

Question

ich hab tierische Probleme beim erkennen von Bildungsgesetzen von Reihen, bzw. beim Aufstellen von $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $$

Vielleicht kann mir ja einer eine Allgemeine Ansatzweise erklären wie ich auf die Reihe aus der Folge komme.

Beispiele von Aufgaben bei denen es mir schwer fällt...

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Ü2. Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten mit Hilfe des Quotientenkriteriums. }} \\ {\text { a) } 2+\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}+\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4^{2}}+\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4^{3}}+\cdots} \\ {\text { b) } \quad \frac{\ln (2)}{1 !}+\frac{(\ln (2))^{2}}{2 !}+\frac{(\ln (2))^{3}}{3 !}+\cdots}\end{array} $$

Die Untersuchung des Konvergenzverhaltens ist nicht das Problem, jedoch das aufstellen von $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$$.

Was ja benötigt wird um die Aufgabe zu lösen.

NiggoH

Answer 1

Schau dir die Struktur der Summanden auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede an. Bei a) haben alle Summanden (bis auf den ersten) die Struktur \( \frac{n+1}{n} \) ·\( \frac{1}{4} \) n-1.

Jetzt muss man noch schauen,ob \( \frac{1+1}{1} \) ·\( \frac{1}{4^0} \) =2. Passt!

Answer 2

b) hier erhalte ich \(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\ln(2)^n}{n!}}\). Verwende wieder das Quotientenkriterium:$$\left \lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right \rvert=\frac{\frac{\ln(2)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{\ln(2)^n}{n!}}=\frac{n!\cdot\ln(2)^{n+1}}{\ln(2)^n \cdot (n+1)!}=\frac{n!\ln(2)}{n!(n+1)}=\frac{\ln(2)}{(n+1)}\to 0$$

Comments

Sicher, dass die Reihe (b) divergiert? Sieht eher nach einer Exponentialreihe aus?

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Bei (a) ist deine Folge nicht korrekt. Außerdem ist a₀ nicht definiert.

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Hast du Teilantwort (a) komplett gelöscht? Was ist mit (b)?

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Ich kann auch die gesamte Aufgabe löschen, wenn du willst - anscheinend ist b) ja auch falsch.