Landau benutzen und zeigen, dass Folge konvergiert

Question

Aufgabe:

a.   Benutzen Sie das Landau-System um zu zeigen: Die Folge (a_n) mit a_n := n!·n⁻ⁿ ist eine Nullfolge.

b. Zeigen Sie nochmal, dass die Folge (a_n) mit a_n := n!·n⁻ⁿ eine Nullfolge ist, aber indem Sie zeigen, dass  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \)  konvergiert.

Ich verstehe die Frage nicht genau und weiß nicht, wie man das lösen kann.

Könnten Sie bitte die Frage lösen und bisschen erklären?

Comments

Landau System :

O(a) := { b= (bn ) n element von  N  : bn / an  ist beschränkt }

o(a) := { b= (bn ) n element von  N  : bn / an  ist  Nullfolge }

seien a,b,c,d strikt positive Folgen

a). Die relation O(a)=O(b) ist eine Äqualinzrelation

B). Die Relation a element O(b) ist reflixiv und transitiv

c). O(a)  C=  O(b)  gilt GENAU dann ,wenn a element O(a)

d). Es ist O(a+b) =O(max (a , b ) - wobei wir die Folge max (a, b )definieren als max (a,b )n :=(max (an , bn))

e). Ist a element O(b) und c element O(d) , so ist a.c element O( b. d )

Answer 1

eventuell musst du mir noch erklären, was du mit Landau-System meinst. Ich habe so interpretiert:

Zu a)

Durch geschicktes Abschätzen:$$\frac{n!}{n^n}=\frac{1\cdot 2 \cdot \ldots  \cdot(n-1)\cdot n}{n\cdot n \cdot \ldots \cdot n}=\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \ldots \cdot  \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n} {n}  \\ \leq \frac{1}{n}\cdot \left(\frac{n}{n}\right)^{n-1}=\frac{1}{n}\cdot 1^{n-1}= \frac{1}{n}\overset{n\to \infty}\longrightarrow 0 $$

Wir wissen also, dass \(f\in \omega(g)\), wenn \(f(x):=n^n\) und \(g(x)=n!\). Also, dass \(n!\) langsamer als \(n^n\) wächst.

Zu b)

Nach dem Quotientenkriterium:$$\left \lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \overset{n\to \infty} \longrightarrow \frac{1}{e} <1$$

Comments

Aus \(\left\vert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert<1\) folgt noch nicht Konvergenz.

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aktualisiert.

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ich soll diese Satz  benutzen

O(1) ⊂ O(n)  ⊂O(n) ⊂O(n^2)⊂O(n^3) ⊂...

Außerdem gilt für jedes P∈N und jedes x R, x >0:

O(n^p)  ⊂O(x^n)

WEITER GILT FÜR ALLE X;Y ∈R  MIT 0<X<Y:

O(x^n )  ⊂O(y^n)

und für alle x ⊂R mit x >0 gilt

O(x^n)⊂  O(n!)  ⊂ O(n^n)

Analoges gilt ganz genau fürkleine  o von  n. 

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Sorry, da kann ich dir nicht weiterhelfen. Du kannst die Frage separat noch einmal einstellen!