Gewöhnlicher Bruch zu (0.3224)_5 , wobei 24 die Periode ist?

Question

Bestimmen Sie den gewöhnlichen Bruch von (0.3224)₅  , wobei über 24 ein Strich ist



Problem/Ansatz:

wie löse ich am besten diese Aufgabe ?? hab ich soweit alles richtig gemacht? der Schritt q=\( \frac{1}{5^2} \) wieso muss man das machen? wie geht's weiter? danke schonmal für Antworten :) Wobei noch zu sagen ist, dass in der vorletzten Zeile die 5^3 und die 5^4 mir ziemlich verunglückt sind xD

Comments

Soll der gewöhnliche Bruch _{10} sein?

Answer 1

Ich mache das immer wie folgt:

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Könntest du mir deine Vorgehensweise bitte erläutern?

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x ist deine Dezimalzahl gegeben im 5er-System.

Wenn du das Komma dort also um eine Stelle nach rechts verschiebst multiplizierst zu die Zahl mal 5!!

Wir multiplizieren die Zahl jetzt einmal mit 5^4 und mit 5^2, sodass die Periode einmal vor und einmal hinter dem Komma steht.

Dadurch haben wir hinter dem Komma die gleiche Periode.

Wir können dann die Differenz bilden und haben nur noch eine ganze Zahl im 5er System. Diese wandeln wir jetzt ins 10er System um und teilen durch den Faktor vor dem x. Dann habe ich x als Bruch im Dezimalsystem.

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Mit der geometrischen Reihe

3/5 + 2/5^2 + (2/5^3 + 4/5^4)·∑ (k = 0 bis ∞) ((1/25)^k)

= 3/5 + 2/5^2 + (2/5^3 + 4/5^4)·25/24 = 211/300

Answer 2

Der "gewöhnliche" Bruch soll wohl im Dezimalsystem angegeben werden.

Dann rechnet man \( \frac{3}{5} \) +\( \frac{2}{5^{2}} \) +(\( \frac{2}{5^{3}} \) +\( \frac{4}{5^{4}} \) )·\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(\frac{1}{25})^{n}} \)

Wenn nur eine Ziffer in der Periode steht, ist q=\( \frac{1}{5} \) . Da zwei Ziffern in der Periode stehen, ist q=\( \frac{1}{5^{2}} \).

Comments

Okii, danke :)

Zum Verständnis fehlt mir nurnoch der letzte Schritt. ich weiß nicht, ob du mit meiner Vorgehensweise vertraut bist..

\( \frac{3}{5} \) (\( \frac{12}{5^3} \) *\( \frac{1}{1-\frac{1}{5^2}} \) )= \( \frac{3}{5} \) +\( \frac{12}{120} \) = \( \frac{84}{120} \)

das Ergebnis scheint zu stimmen, allerdings frage ich mich, wieso  \( \frac{22}{5^5} \) einfach weggelassen wird..  

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Mit deiner Vorgehensweise bin ich nicht vertraut. Mein Ergebnis wird auch vom Mathecoach bestätigt. Zu meiner Vorgehensweise gebe ich dir auf Nachfrage gern Erläuterungen.

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Ja gerne :) Denke, mein Professor wird auch andere Vorgehensweisen akzeptieren :)

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@cassy_yo
das Ergebnis scheint zu stimmen

Welches Ergebnis von dir ? 84/120 ?

Sowohl Roland als auch ich kamen auf einen Bruch von 211/300.

Und diesen habe ich auch geprüft durch eine Rückwandlung in eine Dezimalzahl zur Basis 5.

Da kommt das ursprüngliche Ergebnis heraus.

Denke, mein Professor wird auch andere Vorgehensweisen akzeptieren :)

Sollte er solange die Darstellung nachvollziehbar und richtig ist.

Wichtig in der Hinsicht ist auch immer das Wort Nachvollziehbar. Wenn ich nicht verstehen kann was die Schüler rechnen können sie nicht erwarten dafür Punkte zu bekommen :)

Answer 3

der Schritt q=1/5^2, wieso muss man das machen?

Weil bei periodischen  (Strich über 24) Brüchen nach dem, was geschrieben wurde, noch unendlich oft 24 kommt.

Die Perioden kannst du als geometrische Reihen auffassen.

Im Zehnersystem:

0.78111111.... = 0.78 +  1/10^3 + 1/10^4 + 1/10^5 + ....

q = 1/10  , damit in Formel für geometrische Reihen!

0.78111111.... = 0.78 + 1/10^3 * (1/(1-1/10)) 

= 0.78 + 1/1000 * 1/(9/10)

= 0.78 + 1/1000 * (10/9)

= 0.78 + 1/100 * 1/9

= 78/100 + 1/900

Nun noch die beiden Brüche addieren

= (78*9 + 1)/900

= 703 / 900

Kontrolle mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=(78*9+%2B+1)%2F900

Theorie im Zehnersystem: https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Periodische_Dezimalbrüche

kannst du auch ins Fünfersystem übertragen. Noch mehr hierzu https://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsystem#Dezimalbruchentwicklung_(periodische_Dezimalzahlen_in_Brüche_umformen)

Answer 4

Die Rechnung zur Basis 5 lautet $$0.32\overline{24} = \dfrac{3224.\overline{24}-32.\overline{24}}{10^4-10^2} = \dfrac{3142}{4400} = \dfrac{3142:2}{4400:2} = \dfrac{1321}{2200}.$$Dazu muss man nur bis 5 statt bis 10 zählen können.

(PS: Rechenfehler 4-2=4 beseitigt!)