Lineare Differentialgleichung y'=a(x)y + b(x) wobei Koeffizienten a, b : ℝ → ℝ stetig und periodisch mit Periode T > 0.

Question

Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung

y' = a(x)y + b(x)

deren Koeffizienten a, b : ℝ → ℝ stetig und periodisch sind mit der Periode T > 0. 

Ferner gelte       

                                   ₀∫^T a(t) dt ≠ 0

Zeige dass dann die gegebene Differentialgleichung genau eine T-periodische Lösung besitzt.

Answer 1

Kann es sein das das Integral 0 sein muss und nicht ungleich 0?

Comments

Laut aufgabenblatt ist es ungleich 0

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Hi, was ist mit \( a(x) = 1 \) und \( b(x) = 0 \) Beide Funktionen sind T-periodisch, da für beide Funktionen gilt \(  a(x) = a(x+T) \) und \( b(x) = b(x+T) \)
Aber die Dgl. \( y'(x) = a(x)y(x)+b(x) = y(x) \) hat die Lösung
$$ y(x) = Ce^x  $$ und diese Funktion ist bestimmt nicht T-periodisch. Und für das Integral gilt \(  \int_0^T a(t) dt = T \ne 0 \)