Sei ε>0 . Gesucht ist ein δ so, dass für alle x∈ℝ gilt
| x-0| < δ ==> | f(x) - f(0) | < ε
Oder konkreter:
| x| < δ ==> | f(x) - 1 | < ε.
Also schauen wir | f(x) - 1 | < ε genauer an:
| f(x) - 1 | < ε
<=> | (1 / (x^(2) + 1) - 1 | < ε
Etwas rechnen gibt
<=> | (1 / (x^(2) + 1) - (x^(2) + 1)/ (x^(2) + 1) | < ε
<=> | - (x^(2) / (x^(2) + 1) | < ε
<=> (x^(2) / (x^(2) + 1) < ε
<=> (x^(2) < ε * (x^(2) + 1)
<=> x^(2) - ε * x^(2) < ε
<=> x^(2) * ( 1- ε ) < ε
o.B.d.A. ist ε < 1 , also 1- ε positiv somit:
=> x^(2) < ε/(1- ε )
==> |x| < √ (ε/(1- ε )).
Also geling der Beweis mit:
Sei ε>0 und ε<1 (Dann gilt es für die größeren erst recht.)
Wähle dann δ = √ (ε/(1- ε )). Dann gilt
| x| < δ ==> ….. (obige Schritte in umgekehrter Reihenfolge)
==> | f(x) - 1 | < ε. q.e.d.