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Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des ε-δ-Kriteriums, dass f : R → R,

f(x) := ( 1 / (x^(2) + 1) )

bei x0 = 0 stetig ist. 


Hi,

meine Frage ist etwas dreist aber ich weiß nicht mehr weiter und wollte hier in dem forum nach Hilfe suchen. Ich wäre froh über jede hilfreiche Antwort.

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Sei ε>0 .  Gesucht ist ein δ so, dass für alle x∈ℝ gilt

| x-0| < δ      ==>     | f(x) - f(0) | < ε

Oder konkreter:

| x| < δ      ==>     | f(x) - 1 | < ε.

Also schauen wir   | f(x) - 1 | < ε genauer an:

  | f(x) - 1 | < ε

<=>   | (1 / (x^(2) + 1)   - 1 | < ε

Etwas rechnen gibt

<=>   |  (1 / (x^(2) + 1)   -  (x^(2) + 1)/ (x^(2) + 1) | < ε

<=>   |   -  (x^(2) / (x^(2) + 1) | < ε

<=>         (x^(2) / (x^(2) + 1) < ε

<=>         (x^(2) < ε   * (x^(2) + 1)

<=>         x^(2) - ε   * x^(2)   <   ε

<=>         x^(2) * ( 1- ε )   <   ε

o.B.d.A. ist  ε < 1 , also  1- ε  positiv somit:

=>         x^(2)    <   ε/(1- ε )

==>           |x|   <  √ (ε/(1- ε )).

Also geling der Beweis mit:

Sei ε>0   und ε<1 (Dann gilt es für die größeren erst recht.)

Wähle dann δ =  √ (ε/(1- ε )). Dann gilt

| x| < δ      ==>   ….. (obige Schritte in umgekehrter Reihenfolge)

                    ==>     | f(x) - 1 | < ε.            q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀

Danke für die ausführliche Antwort:)

Meinst du mit umgekehrter Reihenfolge das ich die Schritte:

<=>        x^(2) * ( 1- ε )  <  ε bis 

  | f(x) - 1 | < ε 

einfach umgekehrt aufschreiben muss?

Ja genau. Die dienen ja dazu erst mal zu finden wie

man das Delta festlegen muss. Und dann kann man ja beginnen:

Wähle dann δ =  √ (ε/(1- ε )). Dann gilt.....

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