Stetigkeit einer Funktion

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des ε-δ-Kriteriums, dass f : R → R,

f(x) := ( 1 / (x^(2) + 1) )

bei x0 = 0 stetig ist. 

Hi,

meine Frage ist etwas dreist aber ich weiß nicht mehr weiter und wollte hier in dem forum nach Hilfe suchen. Ich wäre froh über jede hilfreiche Antwort.

Answer 1

Sei ε>0 .  Gesucht ist ein δ so, dass für alle x∈ℝ gilt

| x-0| < δ      ==>     | f(x) - f(0) | < ε

Oder konkreter:

| x| < δ      ==>     | f(x) - 1 | < ε.

Also schauen wir   | f(x) - 1 | < ε genauer an:

  | f(x) - 1 | < ε

<=>   | (1 / (x^(2) + 1)   - 1 | < ε

Etwas rechnen gibt

<=>   |  (1 / (x^(2) + 1)   -  (x^(2) + 1)/ (x^(2) + 1) | < ε

<=>   |   -  (x^(2) / (x^(2) + 1) | < ε

<=>         (x^(2) / (x^(2) + 1) < ε

<=>         (x^(2) < ε   * (x^(2) + 1)

<=>         x^(2) - ε   * x^(2)   <   ε

<=>         x^(2) * ( 1- ε )   <   ε

o.B.d.A. ist  ε < 1 , also  1- ε  positiv somit:

=>         x^(2)    <   ε/(1- ε )

==>           |x|   <  √ (ε/(1- ε )).

Also geling der Beweis mit:

Sei ε>0   und ε<1 (Dann gilt es für die größeren erst recht.)

Wähle dann δ =  √ (ε/(1- ε )). Dann gilt

| x| < δ      ==>   ….. (obige Schritte in umgekehrter Reihenfolge)

                    ==>     | f(x) - 1 | < ε.            q.e.d.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort:)

Meinst du mit umgekehrter Reihenfolge das ich die Schritte:

<=>        x^(2) * ( 1- ε )  <  ε bis 

  | f(x) - 1 | < ε 

einfach umgekehrt aufschreiben muss?

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Ja genau. Die dienen ja dazu erst mal zu finden wie

man das Delta festlegen muss. Und dann kann man ja beginnen:

Wähle dann δ =  √ (ε/(1- ε )). Dann gilt.....