Hilfe! finden sie disjunkte Repräsentantensysteme von R und zeigen sie ~definiert eine Äquivalenzrelation aud R

Question

Seien k,l ∈ℝ. Wir schreiben k~l genau dann, wenn ein m∈ℤ existiert mit k-l=m. Zeigen SIe :~definiert eine Äquivenzrelation auf ℝ. Finden Sie außerdem mindestens zwei disjunkte repräsentantensstheme von ℝ/ ~. (Zwei Mengen S,Sheißen disunkt, wenn S∩S=∅)

ich weiß, dass eine Äquivalenzrelation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist habe aber schwierigkeiten damit konkret umzu gehen in dieser aufgabe und auch das disjunkte macht mir probleme kann jemand erklären und helfen?


Vielen Dank :)

Comments

hat jemand irgendeine ahnung wie ich vorgehen könnte?

Answer 1

Hallo,

Beweis, dass \(\sim\) eine Äquivalenzrelation ist:
Reflexivität: \(\forall r\in\mathbb{R}: \, r \sim r\); denn \(r-r=0\in\mathbb{Z}\)
Symmetrie: \(r\sim s\Rightarrow r-s\in\mathbb{Z}\Rightarrow s-r=-(r-s)\in \mathbb{Z}\Rightarrow s\sim r\)
Transitivität: \(r\sim s \wedge s \sim t\Rightarrow r-s, s-t \in \mathbb{Z}\Rightarrow r-t=(r-s)+(s-t)\in \mathbb{Z}\Rightarrow r \sim t\).

z.B die Intervalle \([0,1)\) und \([1,2)\) sind zwei disjunkte Repräsentantensysteme.

Gruß ermanus