Anfangswertproblem rechnen

Question

Kann mir jemand alles Schrittweise vorrechnen?
Das -2y bei (i) stört mich und deshalb weiß ich nicht wie da vorgehen
soll.

Answer 1

Hallo

i) ist eine inhomogene  lineare Dgl, du löst erst die homogene und dann durch einen geeigneten Ansatz eine partikuläre Lösung der inhomogenen., oder durch Variation der Konstanten.

 warum dich die 2 stört? y'=2y hat doch die einfache Lösung y=C*e^2x

ii) gilt dasselbe wie für i

Gruß lul

Answer 2

Zumindest die Lösung der ersten Gleichung findet sich hier

https://math.stackexchange.com/questions/2158096/what-can-be-the-solution-for-y-2y-cos-x/2158103

Answer 3

Beide Aufgaben : Lösung d. Variation der Konstanten

y' -2y= cos(x) , y(0)=0

homogene Gleichung:

y' -2y=0

dy/dx= 2y

dy/y= 2dx

y_h= C₁ *e^(2x)

C₁=C(x)

y_p= C(x) e^(2x)

yp'=C'(x) e^(2x) +2 C(x) e^(2x)

yp und yp' in die DGL einsetzen:

C'(x) e^(2x)= cos(x)

C'(x)= cos(x)/(2x)

C(x)= ∫e^(-2x) *cos(x) dx -------------->partielle Integration(2x)

C(x)=e^(-2x)/5( sin(x) -2 cos(x)

yp=C(x) *e^(2)

yp=1/5(sin(x)-2 cos(x))

mit AWB:

y=1/5(2 e^(2x) -2cos(x) +sin(x)