Anfangswertproblem mit autonome Differentialgleichung

Question

Aufgabe:Aufgabe 1. Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:\( \ddot{x}=\dot{x}^{3} \sin (x), \quad x(0)=0, \quad \dot{x}(0)= \)Beachten Sie, dass die Differentialgleichung autonom ist.

Hallo zusammen!

Könnte jemand mir bitte helfen, wie bei dieser Frage vorgehen soll ?

Danke!

Comments

Was hältst Du von x(t)=0?

---

aber x(t)=0 ist nicht die einzige mögliche Lösung.

Braucht man hier auch die andere Lösungen ?

Answer 1

Hallo,

Setze:

x'=p

x'' = \( \frac{dp}{dx} \) *p

---->

\( \frac{dp}{dx} \) p = \( p^{3} \) sin(x)

p( \( \frac{dp}{dx} \) -\( p^{2} \) sin(x)=0

->

1.) p=0

x'=p
x'=0
dx/dt=0
dx= 0 dt

x= C₁

2.)

\( \begin{array}{l}\frac{d p}{d x}-p^{2} \sin (x)=0 \\ \frac{d p}{d x}=p^{2} \sin (x) \\ \frac{d p}{p^{2}}=\sin (x) \\ -\frac{1}{p}=-\cos (x)+c \\ 1/ p=\cos (x)-c \\ p=\frac{1}{\cos (x)-c} \\ p=x^{\prime}=\frac{1}{\cos (x)-c} \\ \frac{d x}{d t}=\frac{1}{\cos (x)-c} \\ (\cos (x)-c \mid d x=d t \\ \sin (x)-c_{2} x=t+c_{3}\end{array} \)

\( \begin{array}{l}p^=x^{\prime}=\frac{1}{\cos (x)-c} \\ x^{\prime}(0)=1: \quad 1=\frac{1}{\cos (0)-c} \\ 1=\frac{1}{1-c} \\ c=0 \\ x^{\prime}=\frac{1}{\cos (x)} \\ \frac{d x}{d t}=\frac{1}{\cos (x)} \\ \cos (x) d x=d t \\ x(0)=0 ; \quad \sin (x)=t+c . \\ c=0 \\ \sin (x)=t \\ \frac{x_{1}=\pi-\arcsin (t)+2 k \pi}{\frac{x_{2}=\arcsin (t)+2 k \pi}{k \in G^{-}}} \\\end{array} \)

Comments

Wenn so einsetze,sollte ich eig mit Eulerverfahren weiterrechnen ?

x_n+1 = x_n+h*p_n

p_n+1 = p_n+h*(p_n^3*sin(x_n))

---

Das geht ohne das Eulerverfahren.

Du hast 2 Gleichungen:

1.) p=0

x'=p

x'=0

dx/dt=0

dx= 0 dt

x= C₁

_{2.) dp/dx -p^2 sin(x)=0 ->Trennung der Variablen}

_Lösung:

_{sin(x) -C2x = t+ C3}

_{habe meine Antwort ergänzt. ->siehe oben}