Wie viele Lose muss jemand ziehen, um mit der Wahrscheinlichkeit 0,99 einen Gewinn zu haben?

Question

Aufgabe:

Bei einer Lotterie ist jedes zweite Los eine Niete. Wie viele Lose muss jemand ziehen, um mit der Wahrscheinlichkeit 0,99 einen Gewinn zu haben?

Problem/Ansatz:

Die Lose werden unabhängig voneinander gezogen und man kann annehmen, dass unendlich viele Lose vorhanden sind.

Comments

Vielleicht kann mir jemand dabei helfen. Ich habe gar keine Idee, wie ich da rangehen soll, weil ich ja gar nicht weiss, wie viele Lose es insgesamt gibt.

Besten Dank vorab!

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illu998, man soll "annehmen, dass unendlich viele Lose vorhanden sind"!

Zusammen mit dem Rest der Angaben kann dann die Zufallsgröße X:="Anzahl der Gewinne" beim Ziehen von n Losen als binomialverteilt angesehen werden. Die Parameter dieser Verteilung sind dann die Anzahl n der zu ziehenden Lose und die Wahrscheinlichkeit p=1/2 für ein Gewinnlos beim Ziehen eines Loses. Gesucht ist dann das kleinste n, für das P(X≥1)≥0.99 ist.

(Das ist ein Standardaufgabentyp und es wird sich auf die eine oder andere Weise herausstellen, dass sieben Lose gezogen werden müssen.)

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Gast az0815, was meinst du mit auf die eine oder andere Weise? Ich verstehe zwar nun, wie die Rechnung durchgeführt wird, die Erklärungen hier waren sehr verständlich, aber von alleine würde ich wohl nicht darauf kommen. Gibt es eine Formel, die mir dabei hilft?

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Na ja, es gibt verschiedene Möglichkeiten, von dem von mir angedeuteten Ansatz zum Ergebnis zu kommen, einige werden ja in und unter den anderen Antworten beschrieben.

Ich habe, weil ich diesen Aufgabentyp kenne, so gerechnet:

ln(1-0.99)/ln(1-0.5) = 6.6... < 7 = n.

Nun kenne ich den Stoffzusammenhang nicht, weiß also auch nicht, was der Aufgabensteller hier erwartet. Ein ausführlicher Weg führt über die Bernoulli-Formel, Lösen durch ausprobieren geht aber auch.

Answer 1

0.99≤1-(1-0.5)^n  ⇒ n≥7

Comments

Vielen Dank, denke ich so richtig:

P(alles Nieten): 0,5n
P(bei n Losen mind. 1 Gewinn): 1-0,5n

Also ich verstehe nicht so ganz wie man auf die Formel kommt. Und das n hast du durch Ausprobieren gefunden?

Bin leider schon sehr lange raus aus der Schule und MAthematik:(

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Das Gegenereignis von "mindestens 1 Gewinn" ist "kein Gewinn".

Das Gegenereignis hat die WKT (1-0,5) = 0,5

P(X>=1) = 1-P(X=0)

1- 0,5^n =0,99

0,5^n =0,01

n= ln0,01/ln0,5 = 7 (gerundet)

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Also ich verstehe nicht so ganz wie man auf die Formel kommt. 

...erinnert dich das nicht an die Binomialverteilung?

Und das n hast du durch Ausprobieren gefunden?

Nein, ich habe umgestellt:

0.99≤1-(1-0.5)^{n}  ⇔ -0.01 ≤ -0.5^n  ⇔ 0.01 ≥ 0.5^n  ⇔ n ≥ log_{0.5}(0.01)=6.64=7

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Ah, die Binomialverteilung schaue ich mir nochmal an. !

Answer 2

Eine einfache Herangehensweise wäre

1.Ziehung : Niete = 0.5
2.Ziehung : 2 Nieten : 0.5 `0.5 = 0.5^2 = 0.25
3.Ziehung : 3 Nieten : 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.5 ^3 = 0.125
bei n -Ziehungen nur Nieten : 0.5 ^n

Ich breche hier einmal ab weil die Frage nicht exakt
genug gestellt ist

um mit der Wahrscheinlichkeit 0,99 einen Gewinn
zu haben?

Ist gemeint
- mindestens einen Gewinn
oder
- exakt 1 Gewinn ?

Desweiteren
Vielleicht kann mir jemand dabei helfen. Ich habe
gar keine Idee, wie ich da rangehen soll, weil ich ja gar nicht weiss, wie viele Lose es insgesamt gibt.

Ist sicherlich so gemeint: 2 Lose in einer Urne.
1 Los wird gezogen und wieder zurückgelegt.
Damit ist die Wahrscheinlichkeit für Niete / Gewinn
stets 50 %.

Comments

Danke @georgborn, das war mega hilfreich, gut erklärt!