unterschied zwischen Surjektiv und bijektive und Injektive
Injektiv: Wenn a ≠ b dann f(a) ≠ f(b) .
Das ist bei strenger Monotonie immer erfüllt. Kannst du aber
auch so beweisen f(a) = f(b) ==> a = b .
surjektiv: Bei f : ℝo* → ℝo* .
Für jedes y ∈ ℝo* gibt es ein y ∈ ℝo* mit f(x)=y.
Beweis mit Zwischenwertsatz könnte so gehen:
Sei y ∈ ℝo* . Da die Folge der Quadratzahlen (n^2) n ∈ ℕo
mit 0 beginnt gegen unendlich geht, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. y ist gleich einem Folgenglied an, dann ist y=n^2 mit
n ∈ ℕo ⊂ ℝo* , also y = f(n) .
2. Es gibt zwei Folgenglieder an und an+1 zwischen denen
das y liegt, also n^2 < y < (n+1)^2 , also
f(n) < y < f(n+1) .
f ist eine stetige Funktion also gibt es nach dem Zwischenwertsatz
ein x zwischen n und n+1 mit f(x) = y.
q.e.d.