Behauptung: f: ℝ -> [-1, 1], f(x) = sin(x^(2) -1) ist surjektiv mit Zwischenwertsatz beweisen

Question

Aufgabe:

Behauptung: f: ℝ -> [-1, 1], f(x) = sin(x^(2) -1) ist surjektiv mit Zwischenwertsatz beweisen

Problem/Ansatz:

Beweis:
Nebenrechnung:
sin(y) = +1 für y = pi/2,
x^(2)-1=pi/2 <=> x = +- sqrt(1+(3/2)pi)

sin(y) = -1  für y = 3/2pi ,
x^(2) - 1 = 3/2pi <=> x = +- sqrt(1 + (3/2)pi)


Sei a := sqrt(1+(3/2)pi) und b := sqrt(1 + (3/2)pi).
Offenbar ist a < b. Sei y Element [-1, 1] beliebig.
Es gilt:
f(a) = sin(a^(2) - 1) = sin(1 + (pi/2) -1) = sin(pi/2) = +1
f(b) = sin(b^(2) - 1) = sin(1 + (3/2)pi -1) = sin(3pi/2) = -1, 
also ist y Element [f(a), f(b)].

Außerdem ist f (als Zusammensetzung stetiger Funktionen) stetig. Nach Zwischenwertsatz muss es dann ein x Element [a, b] Teilmenge IR (Definitionsbereich) geben mit f(x) = y.

Hi,
ich verstehe die Nebenrechnung nicht lerne gerade für die Analysisprüfung und verstehe nicht wie man auf sin(y) = 1 für  y = pi/2 & sin(y) = -1 für  y = (3/2)pi.
Wie kommt man auf die y-Werte ich verstehe das leider nicht.
Bitte um Hilfe
LG

Comments

Ich glaube, wenn Du nicht weisst warum \( \sin(\frac{\pi}{2})=1  \) ist, hast Du noch ganz andere Probleme. Überlegemal, wie der Sinus am Einheitskreis definiert ist.

Auf die \( y \) kommt man nicht, sondern nimmt man an. Schreib mal die dir bekannte Version von Surjektiv auf.

Answer 1

In der Nebenrechnung ist ein Tippfehler

Nebenrechnung:
sin(y) = +1 für y = pi/2,
x^(2)-1=pi/2 <=> x = +- sqrt(1+(1/2)pi)

sin(y) = -1  für y = 3/2pi ,
x^(2) - 1 = 3/2pi <=> x = +- sqrt(1 + (3/2)pi)

Deshalb muss es hier heißen:
Sei a := sqrt(1+(1/2)pi) und b := sqrt(1 + (3/2)pi).

Answer 2

wie man auf sin(y) = 1 für  y = pi/2 & sin(y) = -1 für  y = (3/2)pi [kommt]

Das folgt aus dem Zusammenhang zwischen Sinus und Einheitskreis.

Wie kommt man auf die y-Werte

Mittels arcsin, der Umkehrfunktion des Sinus im Intervall [-π/2, π/2]. Und natürlich dann mit dem Einheitskreis.