Gleichung mit Logarithmus: x = 2*log(e^(x) - 2)

Question

Aufgabe:

wir sollten eine Gleichung mit log vereinfachen. Ich habe die nicht geschafft und heute war die besprechung  und unser Tutor meinte für die Aufgabe:

x = 2*log(e^(x) - 2) kommt für x

x = log(4) = 1.386... raus

ich weiß nicht wie er auf das Ergebnis gekommen ist und konnte leider auch nicht fragen.

Wenn ich log(4) in den Taschenrechner eingebe kommt auch was anderes raus.

Bitte um Hilfe

LG

Comments

Stimmt die Klammerung?

Wenn ja, bestätigt WA dieses Resultat in der Annahme, dass log für den ln steht. https://www.wolframalpha.com/input/?i=x+%3D+2*log(e%5E(x)+-+2)

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ja, sei stimmt :)

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e^(x) = (e^(x) - 2)^(2)

e^(x) = e^(2*x) - 4e^(x)  + 4  | + 4e^(x)

5e^(x) = e^(2*x) + 4  | -e^(2x)    => x - 2x = -x 

4e^(-x) = 4  I : 4

e^(-x) = 4/4 

e^(-x) = 1

ich glaube das ist falsch.

Answer 1

$$x = 2\cdot \ln(e^{x} - 2)  \\ x = \ln\left((e^{x} - 2)^2\right)  \\ e^{x} = (e^{x} - 2)^2 \\ \dots$$Das ist eine quadratische Gleichung über \(e^{x}\).

Comments

dann muss man ja auf der rechten Seite die 2. binomische formel anwenden:

e^(x) = (e^(x) - 2)^(2)

e^(x) = e^(2*x) - 4e^(x)  + 4  | + 4e^(x)

5e^(x) = e^(2*x) + 4  | -e^(2x)    => x - 2x = -x  

4e^(-x) = 4  I : 4

e^(-x) = 4/4 

e^(-x) = 1

ich glaube das ist falsch

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e^(x) = (e^(x) - 2)^(2)

Substitution z = e^(x) ergibt die quadratische Gleichung:

z = (z - 2)^2

z = z^2 - 4z + 4

0 = z^2 - 5z + 4

0 = (z-4)(z-1)

z1 = 1, z2 = 4

D.h. e^x = 1 oder e^x = 4.

D.h. x = ln(1) = 0 oder x = ln(4)

nun die Lösungen in der gegebenen Gleichungen einsetzen, da nicht ganz alles Äquivalenzumformungen waren.

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da nicht alles Äquivalenzumformungen waren.

Nicht?

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@az'815: Betrachte deinen ersten Schritt innerhalb von ℝ.

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Ja, daran habe ich gar nicht gedacht. Natürlich muss \(x \gt \ln(2)\) sein, sonst ist die rechte Seite im Reellen nicht definiert. Setzen wir diese Einschränkung voraus, dann sind doch alle Umformungen äquivalent, oder nicht?

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Danach stimmt das mE schon.