an dieser Stelle stellt die Modulo-Schreibweise ein mächtiges zahlentheoretisches Werkzeug dar.
Die Potenzen \( 2^{70} \) und \( 3^{70} \) können modulo 13 betrachtet werden. Dabei gilt
\( 2^{70} \equiv 2^{5*12 + 10} \equiv 2^{5*12} * 2^{10} \equiv 1^5 * 2^{10} \equiv 2^{10}\ (\mod (13))\),
\( 2^{10} \equiv 1.024 \equiv 1.014 + 10 \equiv 13 \cdot 78 + 10 \equiv 10\ (\mod (13)) \).
Dieselbe Rechnung für \( 3^{70} \) beziehungsweise \( 3^{10} \) modulo 13 ergibt
\( 3^{70} \equiv ... \equiv 3^{10} \equiv (3^3)^3 \cdot 3 \equiv 1^3 \cdot 3 \equiv 3\ (\mod (13)) \).
Folglich ist
\( 2^{70} + 3^{70} \equiv 10 + 3 \equiv 0\ (\mod (13)) \)
und damit durch 13 teilbar.
MfG
Mister
