Vollständige Untersuchung der Exponentialfunktion

Question

Hi Hi!! Ich bin leider nicht sehr erfahren mit Exponentialfunktionen... könnte jemanden mir mit die Aufgabe helfen??

In Rot sind meine Gedanken/versuchungen für die wesentliche Schritte... ich würde mich sehr viel freuen wenn jemanden mich helfen und korrigieren könnte!! Also....

Gegeben ist die Funktion: f : x → 2x^2 · e^-x 

Und die gegebene "Zehn-Punkte-Schema einer vollständigen Untersuchung von Exponentialfunktionen":

1. Bestimmung der maximalen Definitionsmenge

ich habe D = R

2. Globales Verhalten der Funktion für sehr kleine und sehr große x-Werte mit der Bestimmung der Asymptote

         für  x → + ∞  :  f(x) → 0

  und für  x → – ∞  :  f(x) → + ∞

3. Bestimmung der Symmetrie

– ob die Funktion Achselsymmetrisch zur y-achse oder

– ob die Funktion zum Ursprung ist oder

– ob eventuell andere Aussagen zur Symmetrien gemacht werden

f(x) = 2x² • e^–x

f(–x) = 2x² • e^x

–f(x)= – 2x² • e^–x

keine Symmetrie?

4. Bestimmung der Nullstellen und deren Art (mit/ohne VZW)

Also f(x) = 0 ⇒ f(x) = 2x² • e^–x = 0 

Wie finde ich die Nullstellen???

5. Bestimmung der Schnittpunktes mit y-Achse

x = 0  ⇒ f(0) = 2 • 0² • e^–0 = 0  

Also Schnittpunktes mit y-achse bei (0 | 0)

6. Bestimmung der 1., 2. und eventuell 3. Ableitung

f(x) = 2x² • e^–x

f'(x) = 4x • (– e)^–x

f''(x) = 4 • e^–x

f'''(x) = – e^–x    richtig so???? 

7. Bestimmung der Extrempunkte

Ich glaube, bevor ich weiter mache, brauch ich erst eine Bestätigung für meine Ableitungen ..

8. Bestimmung der Wendepunkte

9. Erstellung der Wartetabelle 

"für den interessanten Bereich der Funktion, in der Nähe der zuvor gefundenen Nullstellen sowie Hoch-, Tief- und Wendepunkte; eventuell Angabe der Wartemenge."

Schaffe ich alleine :) 

10. Zeichnen des Graphen der Funktion schaffe ich auch alleine :))

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Vielen Dank im Voraus!!! 

Answer 1

Keine Symmetrie!

4. Bestimmung der Nullstellen und deren Art (mit/ohne VZW)

Also f(x) = 0 ⇒ f(x) = 2x² • e^–x = 0

Ein Produkt ist Null,wenn ein Faktor Null ist.

 e^–x kann nie =0 sein. 2x²= 0 für x=0

Die Nullstelle hat keinen VZW, da x den Exponenten 2 hat.

5. Bestimmung der Schnittpunktes mit y-Achse

x = 0  ⇒ f(0) = 2 • 02 • e–0 = 0 

Also Schnittpunkt mit y-Achse bei (0 | 0)

6. Bestimmung der 1., 2. und eventuell 3. Ableitung

Die Ableitungen müssen nach der Produktregel gebildet werden:

f'(x)=2xe^-x(2-x)

f''(x)=2e^-x(x²+4x-2)

f'''(x)=-2e^-x(x²-6x+6)

alles nach Vereinfachung.

Comments

Vielen Dank für die Antwort... ich habe aber die 2. Ableitung nicht nachvollziehen können..

Ich benützte: u' • v • w + u • v' • w + u • v • w' aber bekomme jedes mal etwas anders raus.. könnten Sie die 2. Ableitung von f(x) mir grob schritt für schritt vorrechnen? Es würde mir echt viel helfen!  Danke nochmals für die vorige Antwort :)

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Ich fasse die Faktoren so zusammen, dass es nur noch zwei sind:

2xe^-x(2-x)=(2e^-x)·(2x-x²). Dann wird die ganz normale Produktregel anwendbar.

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da bekomme ich: 2*e^–x (x² – 4x + 2)

f(x)= e^–x wird doch abgeleitet zu f'(x)=  –e^–x oder?

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Ja, deine Rechnung/zweite Ableitung ist richtig.

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Vielen Dank für alle eure Hilfe!! Ich hab es jetzt geschafft alle extrempunkte und wendesteilen raus zu bekommen :)

Answer 2

Bei 4:  2x^2 * e^(-x) = 0

2. Faktor ist nie Null, also

<=>   2x^2 = 0

<=> x=0

6. Ableitungen sind alle falsch. Produktregel

u=2x^2 und v=e^(-x) gibt

u*v' + u'*v

= 2x^2 *(-e^(-x)) + 4x*e^(-x) = (4x-2x^2)*e^(-x)   etc.

Comments

Ah So!! Vielen Vielen Dank!

Answer 3

zum Vergleich:

Comments

:)) Ich habe es geschafft die Extrempunkte und Wendepunkte raus zu finden ^^

Answer 4

Da mit den Ableitungen alles steht und fällt ist es da besonders wichtig sehr sorgfältig und genau vorzugehen.

Funktion und drei Ableitungen

f(x) = 2·x^2·e^(-x)

f'(x) = 4·x·e^(-x) + 2·x^2·(-e^(-x)) = 4·x·e^(-x) - 2·x^2·e^(-x) = e^(-x)·(4·x - 2·x^2)

f''(x) = -e^(-x)·(4·x - 2·x^2) + e^(-x)·(4 - 4·x) = e^(-x)·(2·x^2 - 8·x + 4)

f'''(x) = -e^(-x)·(2·x^2 - 8·x + 4) + e^(-x)·(4·x - 8) = e^(-x)·(-2·x^2 + 12·x - 12)

Comments

Ah Stimmt! ich hab es ja ganz falsch Abgeleitet.. Vielen Dank für die Hilfe, ich habe es gut nachvollziehen können, und jetzt habe ich schon die Extrempunkte und Wendepunkte auch raus!