Beweise - Lineare Algebra, Inverse, Matrix

Question

Aufgabe

Sei A  ∈ ℝ^n*n invertierbar. Seien L, R ∈ ℝ^n*n so dass gilt:

-> L R = A
-> R ist eine obere (Dreieck) -Matrix
-> L ist eine untere (Dreieck)-Matrix
-> Fur alle Diagonaleintärge von L gilt L11 = L22 = . . . = L_nn = 1

a) Beweisen Sie für den Fall n = 2, dass es ein eindeutiges Paar L und R mit diesen Eigenschaften
gibt.

b) Beweisen Sie fur den Fall n = 3, dass es ein eindeutiges Paar L und R mit diesen Eigenschaften
gibt.

c) Beweisen Sie fur alle n ∈ ℕ , dass es ein eindeutiges Paar L und R mit diesen Eigenschaften gibt.

Problem/Ansatz:

Ich komme mit Beweisen einfach nicht klar, könnt ihr mir da vielleicht helfen?

Answer 1

Für n=2 ist es ja noch recht überschaubar.

Stelle dir einfach vor, du hättest so eine invertierbare Matrix A =

a   b
c   d

und L und R gemäß den Vorgaben, also

L =

1    0      
u    1

wegen Vorgabe 3 und 4.

R =

x    y
0   z

wegen Vorgabe 2.

Dann ist ja L*R =

x             y
ux         uy+z

Wegen Vorgabe 1 ist das gleich A, also  jedenfalls

x=a  und  y=b    #

Außerdem auch

ux = c   und          uy+z = d   ==>  wegen #

ua = c   und          ub+z = d     ##

Angenommen es wäre a=0 , dann also auch c=0

dann wäre aber det(A) = a*d - b*c = 0*d - d*0 = 0, also

A nicht invertierbar. Widerspruch !   Damit muss also a≠0 gelten

und damit folgt aus ##

u = c/a  und  c*b/a + z = d

                 ==>  z = d - cb/a = ( ad-cb) * 1/a

Es sind also u,x,y,z, durch a,b,c,d eindeutig bestimmt.  q.e.d.