Anfangswertproblem lösen y'(t)=e^(y(t))*sin(t), y(0)=y0

Question

Aufgabe:

Löse das Anfangswertproblem: y'(t)=e^y(t)sin(t) mit y(0)=y₀ 

Für welche Anfangswerte y₀ ∈ℝ existiert die Lösung auf ganz ℝ? Für welche Anfangswerte y₀ ist die Lösung beschränkt?

Problem/Ansatz:

Ich habe mit Separation der Variablen angesetzt:

\( \int\limits_{y(0)}^{y(t)} \) dy/e^y(t) = \( \int\limits_{0}^{t} \) sin(t)dt

dabei erhalte ich:

-e^-y(t) + e^-y(0) = -cos(t)+cos(0)

Das stelle ich um:

e^-y(t) +1 = e^-y(0) + cos(t)

Da wende ich den ln auf beiden Seiten an:

-y(t)=-y(0)+ln(cos(t))

und daraus folgt:

y(t)=-ln(cos(t))+y(0)

Ersteinmal habe ich jetzt die Frage: Stimmt diese Lösung? Falls ja zum zweiten Teil der Aufgabe:

-ln(cos(t)) ist immer beschränkt (nach unten, bzw. wegen dem negativen Vorzeichen nach oben müsste er geben unendlich gehen und nach oben(hier nach unten), ist er beschränkt, weil wegen dem cosinus maximal 1 drin stehen kann, was 0 ergibt, also wäre die Lösung doch immer beschränkt, außer, wenn y(0) gegen -unendlich gehen würde, oder nicht?

Stimmt das, was ich hier gemacht habe, und falls nicht: Warum?

Answer 1

ich habe erhalten:

y= -ln(cos(t) -C₁) allgemeine Lösung

y(0)=y_0:

_{y0= -ln(cos(0) -C1)}

_{y0= -ln(1 -C1) |*(-1)}

_{-y0= ln(1 -C1) |e hoch}

_{e^(-y0)= 1 -C1}

_{e^(-y0) - 1 = - C1}

_{- e^(-y0) + 1 =  C1}

_{-------<Lösung:}

_{y= -ln(cos(t) +e^(-y0) -1)}

_{Für welche Anfangswerte y0 ∈ℝ existiert die Lösung auf ganz ℝ?}

_{cos(t) +e^(-y0) -1 >0}

_{y0 < - ln(1-cos(t) , cos(t)<1}

Comments

Danke. Zwei Fragen: Wie kommt man auf die allgemein Lösung? Indem man einfach die unbestimmten Integrale benutzt? Und warum existiert die Lösung mit der unteren Bedingung y0<-ln(1-cos(t)) auf ganz R? Es werden doch dennoch einige y Werte nie angenommen. Und woher kommt die Bedingung cos(t)<1?

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Berechnung nach "Deiner" Methode :

-e^(-y)  +e^(-y₀) = -cos(t) +1

-e^(-y)  = -cos(t) +1 -e^(-y₀) |* (-1)

e^(-y)  = cos(t) -1 +e^(-y₀) |ln(..)

-y  = ln(cos(t) -1 +e^(-y₀)) |*(-1)

y  = - ln(cos(t) -1 +e^(-y₀))