Randwertproblem Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

a) Berechnen Sie zu gegebenem ω > 0 die allgemeine Lösung von

x⁽⁴⁾ + ω²x′′ = 0.

b) Zeigen Sie, dass das Randwertproblem

x⁽⁴⁾ + ω²x′′ = 0 , x(0) = x′(0) = x'′(0) = x(L) = 0

für beliebige ω, L > 0 nur die triviale Lösung x(t) = 0 für alle 0 ≤ t ≤ L hat.

Problem/Ansatz:

Ich habe einiges Ausprobiert, bin aber nie wirklich zu einem ansatzweise logischen Ergebnis gekommen, kann mir da wer von euch weiterhelfen?

LG!

Answer 1

zu a)

Charakteristische Gleichung:

k^4 +ω^2 k^2=0

k^2(k^2 +ω^2)=0

------->Satz vom Nullprodukt:

k^2= 0 ----->k_1.2=0

k^2 +ω^2=0

k^2   =  -ω^2

k_3,4 = ±i*ω

Lösung:

x(t)= C₁ +C₂*t +C₃ cos(ω*t) +C₄ sin(ω*t)

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

siehe Blatt2, Punkt1 ,Fall3

zu b)

Bilde die 1. und 2. Ableitung der Lösung und setze die AWB ein.