Antwort mit KI erzeugt
Teil (a): Zeigen Sie, dass \( v_{1}, v_{2} \) linear unabhängig sind.
Um die lineare Unabhängigkeit von \( v_{1} \) und \( v_{2} \) zu zeigen, müssen wir prüfen, ob die einzige Lösung der Gleichung \( \alpha_{1}v_{1} + \alpha_{2}v_{2} = 0 \) für Skalare \( \alpha_{1} \), \( \alpha_{2} \in \mathbb{R} \) die triviale Lösung \( \alpha_{1} = \alpha_{2} = 0 \) ist.
Da die Vektoren \( v_{1} \) und \( v_{2} \) orthogonal zueinander sind (nach Voraussetzung ist \( \langle v_{1}, v_{2} \rangle = 0 \)), folgt, dass sie nicht Vielfache voneinander sein können, außer im trivialen Fall, wo beide Vektoren der Nullvektor sind. Aber da beide Vektoren auf der Sphäre \( S^{2} \) liegen und somit nicht der Nullvektor sind (\( \|v_{1}\| = \|v_{2}\| = 1 \)), muss gelten:
Für \( \alpha_{1}v_{1} + \alpha_{2}v_{2} = 0 \):
- Wenn \( \alpha_{1} \) nicht null ist, müsste \( v_{1} \) ein skalares Vielfaches von \( v_{2} \) sein, um den Vektor \( 0 \) zu ergeben, was der Orthogonalität der Vektoren widerspricht.
- Analog, wenn \( \alpha_{2} \) nicht null ist, müsste \( v_{2} \) ein skalares Vielfaches von \( v_{1} \) sein, was ebenfalls nicht möglich ist.
Die einzige Möglichkeit, diese Gleichung zu erfüllen, ohne die Bedingungen zu verletzen, ist somit \( \alpha_{1} = \alpha_{2} = 0 \). Damit sind die Vektoren \( v_{1} \) und \( v_{2} \) linear unabhängig.
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Teil (b): Es sei \( E=\mathbb{R} v_{1}+\mathbb{R} v_{2} \). Zeigen Sie: \( E \cap S^{2}=\left\{t_{1} v_{1}+t_{2} v_{2}: t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}, t_{1}^{2}+t_{2}^{2}=1\right\} \).
Die Ebene \( E \) wird durch Linearkombinationen der Vektoren \( v_{1} \) und \( v_{2} \) gebildet, also gilt \( E = \{ \alpha v_{1} + \beta v_{2} | \alpha, \beta \in \mathbb{R} \} \).
Für den Schnitt \( E \cap S^{2} \) suchen wir nun alle Punkte, die sowohl in der Ebene \( E \) liegen als auch die Bedingung der Sphäre \( S^{2} \) erfüllen, nämlich dass ihre norm gleich 1 ist.
Ein Punkt \( p \) auf \( E \), der auf \( S^{2} \) liegt, kann als \( p = t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2} \) geschrieben werden, mit der Bedingung für \( S^{2} \):
\(
\| p \|^2 = \left\| t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2} \right\|^2 = 1
\)
Da \( v_{1} \) und \( v_{2} \) orthogonal sind und beide die Länge 1 haben (da sie auf \( S^2 \) liegen), ergibt das Skalarprodukt von \( p \) mit sich selbst:
\(
\| p \|^2 = (t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2}) \cdot (t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2}) = t_{1}^2 \|v_{1}\|^2 + t_{2}^2 \|v_{2}\|^2 + 2(t_{1}t_{2}\langle v_{1}, v_{2}\rangle) = t_{1}^2 + t_{2}^2
\)
Da \( \langle v_{1}, v_{2} \rangle = 0 \) und \( \|v_{1}\| = \|v_{2}\| = 1 \), vereinfacht sich der Ausdruck zu \( t_{1}^2 + t_{2}^2 = 1 \).
Somit haben wir gezeigt, dass alle Punkte \( p \) im Schnitt \( E \cap S^{2} \) sich als \( p = t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2} \) schreiben lassen müssen, wobei \( t_{1}^{2} + t_{2}^{2} = 1 \) gilt. Dies entspricht der Kreisgleichung in der Ebene \( E \), welche von \( v_{1} \) und \( v_{2} \) aufgespannt wird.
