Sphäre, Ebene, Vektoren

Question

Es sei $S^{2}=\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}$ die Sphäre in $\mathbb{R}^{3}$ und $v_{1}, v_{2}$ seien zwei orthogonale

Vektoren auf $S^{2}$, d.h. $v_{1}, v_{2} \in S^{2}$ mit $\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle=0$

(a) Zeigen Sie, dass $v_{1}, v_{2}$ linear unabhängig sind.

(b) Es sei $E=\mathbb{R} v_{1}+\mathbb{R} v_{2} .$ Zeigen Sie: $E \cap S^{2}=\left\{t_{1} v_{1}+t_{2} v_{2}: t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}, t_{1}^{2}+t_{2}^{2}=1\right\}$.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Teil (a): Zeigen Sie, dass $v_{1}, v_{2}$ linear unabhängig sind.

Um die lineare Unabhängigkeit von $v_{1}$ und $v_{2}$ zu zeigen, müssen wir prüfen, ob die einzige Lösung der Gleichung $\alpha_{1}v_{1} + \alpha_{2}v_{2} = 0$ für Skalare $\alpha_{1}$, $\alpha_{2} \in \mathbb{R}$ die triviale Lösung $\alpha_{1} = \alpha_{2} = 0$ ist.

Da die Vektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ orthogonal zueinander sind (nach Voraussetzung ist $\langle v_{1}, v_{2} \rangle = 0$), folgt, dass sie nicht Vielfache voneinander sein können, außer im trivialen Fall, wo beide Vektoren der Nullvektor sind. Aber da beide Vektoren auf der Sphäre $S^{2}$ liegen und somit nicht der Nullvektor sind ($\|v_{1}\| = \|v_{2}\| = 1$), muss gelten:

Für $\alpha_{1}v_{1} + \alpha_{2}v_{2} = 0$:

- Wenn $\alpha_{1}$ nicht null ist, müsste $v_{1}$ ein skalares Vielfaches von $v_{2}$ sein, um den Vektor $0$ zu ergeben, was der Orthogonalität der Vektoren widerspricht.
- Analog, wenn $\alpha_{2}$ nicht null ist, müsste $v_{2}$ ein skalares Vielfaches von $v_{1}$ sein, was ebenfalls nicht möglich ist.

Die einzige Möglichkeit, diese Gleichung zu erfüllen, ohne die Bedingungen zu verletzen, ist somit $\alpha_{1} = \alpha_{2} = 0$. Damit sind die Vektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ linear unabhängig.

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Teil (b): Es sei $E=\mathbb{R} v_{1}+\mathbb{R} v_{2}$. Zeigen Sie: $E \cap S^{2}=\left\{t_{1} v_{1}+t_{2} v_{2}: t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}, t_{1}^{2}+t_{2}^{2}=1\right\}$.

Die Ebene $E$ wird durch Linearkombinationen der Vektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ gebildet, also gilt $E = \{ \alpha v_{1} + \beta v_{2} | \alpha, \beta \in \mathbb{R} \}$.

Für den Schnitt $E \cap S^{2}$ suchen wir nun alle Punkte, die sowohl in der Ebene $E$ liegen als auch die Bedingung der Sphäre $S^{2}$ erfüllen, nämlich dass ihre norm gleich 1 ist.

Ein Punkt $p$ auf $E$, der auf $S^{2}$ liegt, kann als $p = t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2}$ geschrieben werden, mit der Bedingung für $S^{2}$:

$\| p \|^2 = \left\| t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2} \right\|^2 = 1$

Da $v_{1}$ und $v_{2}$ orthogonal sind und beide die Länge 1 haben (da sie auf $S^2$ liegen), ergibt das Skalarprodukt von $p$ mit sich selbst:

$\| p \|^2 = (t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2}) \cdot (t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2}) = t_{1}^2 \|v_{1}\|^2 + t_{2}^2 \|v_{2}\|^2 + 2(t_{1}t_{2}\langle v_{1}, v_{2}\rangle) = t_{1}^2 + t_{2}^2$

Da $\langle v_{1}, v_{2} \rangle = 0$ und $\|v_{1}\| = \|v_{2}\| = 1$, vereinfacht sich der Ausdruck zu $t_{1}^2 + t_{2}^2 = 1$.

Somit haben wir gezeigt, dass alle Punkte $p$ im Schnitt $E \cap S^{2}$ sich als $p = t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2}$ schreiben lassen müssen, wobei $t_{1}^{2} + t_{2}^{2} = 1$ gilt. Dies entspricht der Kreisgleichung in der Ebene $E$, welche von $v_{1}$ und $v_{2}$ aufgespannt wird.