Hyperbolische Geometrie Parallelität

Question

Hey komme hier nicht weiter. Man soll zeigen, dass Parallelität in der hyperbolischen Geometrie keine Äquivalenzrelation ist. Reflexivität und Symmetrie stimmen ja überein, also kann die Transitivität nicht stimmen.

Aber wie zeige ich das und wie kann ich es begründen? Hat das was mit Schnittpunkten im Unendlichen zu tun?

Answer 1

Die hyperbolische Geometrie zeichnet sich dadurch aus, dass dort das hyperbolische Axiom existiert. D.h. zu einer Geraden \(g\) und einem Punkt \( P \not \in g\) existiert mehr als eine Gerade die zu \(g\) parallel ist.

Damit ist die Relation 'ist parallel zu' nicht mehr transitiv. Zwei Geraden \(h_1\) und \(h_2\), die beide zu \(g\) parallel sind, müssen nicht zwangsläufig zueinander parallel sein. Formal $$h_1 \parallel g \space \land \space g \parallel h_2 \nRightarrow  h_1 \parallel h_2$$Transitivität würde aber genau das fordern.