Drehparaboloid: Rotationskörper,Parabel,Volumen

Question

Aufgabe:

Ein Glas hat die Form eines Drehparaboloids.

Die Höhe beträgt 6 cm,und der Öffnungsdurchmesser ebenso 6 cm.

Problem/Ansatz:

-Wie lautet die Gleichung der Parabel?

-Wie viel Flüssigkeit enthält das Glas,wenn es zum Rand gefüllt ist?

Nachtrag 2019: Antwort in meinem Buch ist : V=27pi

Wie findet man solche Gleichung der Parabel?? Ich habe schon eind  Aufgabe auf dieser Website  gesehen,leider verstehe ich nicht,wie kann ich das berechnen

Ich wäre sehr dankbar für die Antwort!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Ein Glas hat die Form eines Drehparaboloids

Stichworte: volumen,rotationskörper,integralrechnung

Aufgabe:

Ein Glas hat die Form eines Drehparaboloids.
Die Höhe beträgt 6 cm,und der Öffnungsdurchmesser ebenso 6 cm.

Problem/Ansatz:
Wie lautet die Gleichung der Parabel?
Wie viel Flüssigkeit enthält das Glas,wenn es bis zum Rand gefüllt wird?

Diese Aufgabe ist auf der Website, aber leider gibt es keine Antwort,

Antwort in meinem Buch ist : V=27pi

Ich hoffe jemand kann helfen, 

Vielen Dank im Voraus

---

deine Frage exisitiert bereits unter:

https://www.mathelounge.de/643081/drehparaboloid-rotationskorper-parabel-volumen

---

Diese Aufgabe ist auf der Website, aber leider gibt es keine Antwort,

Es gibt zwei Antworten. Wo hast du gesucht?

Frage bitte bei den Antworten nach, wenn du etwas nicht verstehst oder zeige den Antwortenden deinen Rechenversuch. Oder zumindest deine Skizze.

Answer 1

$$y=\sqrt{1.5\cdot x}$$ wäre ein möglicher Ansatz. Dann liegt das Glas auf der Seite und zeigt mit der Öffnung nach rechts. Wegen \(y(6)=\sqrt{9}=3\) besitzt die Figur bei Drehung um die x-Achse die geforderten Maße.

Answer 2

Wenn das Glas aufrecht steht hat es die
Form einer ( Normal- ) Parabel und rotiert um die
y-Achse.
y (  x ) = a * x^2
Das rotierenlassen um die y-Achse ist nicht
jedermans Sache.
Besser du bildest die Umkehrfunktion
x = a * y^2
y = √ ( x / a )
oder
y ( x ) = √ ( b * x )

( x | y )
( 6 | 3 )
3 = √ ( b * 6 )
9 = b * 6
b = 1.5

f ( x ) = √ ( 1.5 * x )

Fläche / Scheibe / Kreis an der Stelle x
A ( x ) = r^2 * pi = [ √ ( 1.5 * x ) ] ^2 * pi
A ( x ) = 1.5 * x  * pi
Stammfunktion
S ( x ) = 1.5 * x^2 / 2 * pi

Volumen
V = [ S ] zwischen 0 und 6

Comments

Das rotierenlassen um die y-Achse ist nicht
jedermans Sache.
Besser du bildest die Umkehrfunktion

Nein !  Besser, du machst dich damit vertraut.

Das Rotationsvolumen berechnet man mit  V_y = π·∫ (y von 0 bis 6) x^2 dy.

Die Auswertung erfolgt nun
entweder direkt mit y = 2/3 x^2, also x^2 = 3/2 y : 
     V_y = π·∫ (y von 0 bis 6) 3/2 y dy
oder mit der Substitution  y = 2/3 x^2, also dy = 4/3 x dx : 
     V_y = π·∫ (x von 0 bis 3) x^2 * 4/3 x dx  =  π·∫ (x von 0 bis 3)  4/3 x^3 dx