Wie berechne ich die 4ten Wurzeln aus -15i+20?

Question

Aufgabe:

Wie berechne ich die 4ten Wurzeln aus -15i+20 ? 

$$ \sqrt[4]{-15·i + 20} $$

Comments

Wie berechne ich die 4te wurzel aus -15i+20 ?

Das kannst du so nicht fragen, da

 die 4te wurzel aus -15i+20

nicht definiert ist.

Bzw. du musst erst angeben, wie du diese Wurzel definieren möchtest.

EDIT: Fragestellung nun berichtigt.

Answer 1

Es gibt auch eine exakte Lösung für die Aufgabe:$$\sqrt[4]{20-15i} = x$$ $$x_{1,2} = \pm \left( 1+ (3+\sqrt{10})i\right)\sqrt{ \frac 5{20+6\sqrt{10}}} \\ x_{3,4} = \pm \left( -(3+\sqrt{10}) + i\right)\sqrt{ \frac 5{20+6\sqrt{10}}}$$Wolfram Alpha meint, das das passt. Wie man drauf kommt? ... vielleicht morgen Abend

Answer 2

ich denke, so ist es gemeint:

Comments

Ich komme aber auf den Winkler -1\5 pi

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Du kannst sowohl den negativen als auch den positiven Winkel angeben, liefert beides das gleiche Ergebnis.

Also -36,86° sind auch richtig , genauso wie 323,13°

Answer 3

Eigentlich sollte man lieber welche komplexe Zahl hoch 4 ergibt 20 - 15i

z^4 = 20 - 15·i

Da liefert ein Rechenknecht

z = - √(5/2 - 3·√10/4) - i·√(3·√10/4 + 5/2) ∨
z = √(5/2 - 3·√10/4) + i·√(3·√10/4 + 5/2) ∨
z = - √(3·√10/4 + 5/2) + i·√(5/2 - 3·√10/4) ∨
z = √(3·√10/4 + 5/2) - i·√(5/2 - 3·√10/4)

oder genähert

z = -2.207194655 + 0.3581783841·i ∨
z = 2.207194655 - 0.3581783841·i ∨
z = -0.3581783841 - 2.207194655·i ∨
z = 0.3581783841 + 2.207194655·i

Ich persönlich rechne dann immer über die Exponentialform

20 - 15·i = 25·e^(-0.6435011087·i)

Dann ist ein z

z1 = 25^(1/4)·e^(-0.6435011087/4·i) = 2.236067977·e^(-0.1608752771·i)

Das wären dann

z1 = 2.207194655 - 0.3581783839 i

Die Lösung findest du auch oben. Alle weiteren Lösung findest du indem du den Winkel um (2·pi)/4 erhöhst.

Answer 4

$$ z = r * (cos(w) + i*sin(w))$$
$$ z = r * e^{iw}$$
$$ z^{1/n} = r^{1/n} * e^{i*w/n}$$
$$ z^{1/n} = r^{1/n} * ( cos (w/n) + i * sin ( w/n ))$$
$$ Im \quad konkreten \quad Fall \quad r = 25, w =~ -36.8699° $$