Ableitung von Wurzel(x)^x berechnen

Question

Aufgabe:

steht oben.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre die Kettenregel :

f(g(x))´= f´(g(x))*g´(x) :

e^x  *  \( x^{-1/2} \)*1/2

e^x  *  1/2  *  1/Wurzel x

(e^x)/(2*Wurzel x)

Ich danke euch.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Ausdruck vereinfachen - e funktion

Stichworte: e-funktion,vereinfachen,ausdruck

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Wie kann man diesen Ausdruck am besten vereinfachen ?

Answer 1

Verwende:

(√x)^x = e^(x*ln√x) ) = e^(1/2*x*lnx)

Comments

Wo kommt das ln (x) her ?

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Es gilt: f(x) = e^(ln f(x))

Answer 2

\(\sqrt{x}^x = x^{x/2} = e^{x/2 \ln(x)}\)

\(\rightarrow \left[\sqrt{x}^x\right]' = e^{x/2 \ln(x)} \cdot \left[\dfrac{x}{2} \cdot \ln(x)\right]'\)

Die Ableitung von \(\left[\dfrac{x}{2} \cdot \ln(x)\right]\) lautet:

\(\left[\dfrac{x}{2} \cdot \ln(x)\right]' = 0.5 \left[x\cdot \ln(x)\right] = 0.5 [\ln(x) + 1]\)

Also ist die Ableitung \(e^{x/2 \ln(x)} \cdot 0.5 [\ln(x) + 1] = 0.5 \sqrt{x}^x (\ln(x) + 1)\).

Comments

Wo kommt das ln (x) her ?

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Es gilt \(a^x \equiv b^{x \cdot \log_b(a)}\), also hier \(x^{x/2}=e^{x/2 \cdot \log_e(x)}\).

Answer 3

Diese Antwort bezieht sich auf die Folgefrage.

Man kann eigentlich nur die Potenz sinnvoll vereinfachen.
e^(x/2·LN(x)) = x^(x/2) = √(x^x)
Aus dem Rest eventuell noch den Faktor 1/2 ausklammern.

f(x) = √x^x = x^(x/2)

f'(x) = 1/2·x^(x/2)·(LN(x) + 1)