Häufungspunkte und A abgeschlossen? Kann mir bitte wer bei Analysis helfen? Probleme bei Beispielen!

Question

1.) Beweisen Sie:

sind A,B abgeschlossen, dann ist auch A U B abgeschlossen

 

2.) finde alle Häufungspunke von {(-1)^n n/n+1 : n Element der nat. Zahlen}

 

mit Erklärung der Schritte

Comments

Was sind denn A und B. Intervalle?

Answer 1

2.) finde alle Häufungspunke von {(-1)^n * n/(n+1) : n element der nat. Zahlen}

wenn n gerade ist gilt

lim n --> ∞ n/(n+1) = 1

wenn n ungerade ist gilt

lim n --> ∞ -n/(n+1) = -1

Häufungspunkte sind daher -1 und +1. Anbei noch eine Skizze:

Answer 2

 A U B abgeschlossen

Annahme A und B sind abgeschlossene Intervalle.

So kann man sie schreiben als A =[a,b] und B=[c,d]. nach Voraussetzung a≤b und c≤d

Nun sind folgende Fälle möglich. 

b<c oder a > d.

Die Intervalle sind elementfremd. A U B = [a,b]  U [c,d]

Fall a>c und b < d

A U B = [c,d] 

Fall a<c und b>d

A U B = [a,b]  

Fall a<c und b<d

A U B = [a,d]

Fall c<a und d<b

A U B = [c,b]

Das sollten eigentlich alle möglichen Fälle sein. Sonst einfach noch ergänzen.

Der Beweis besteht darin, dass bei allen Fällen abgeschlossene Mengen in IR rauskommen.

Falls A und B schon abgeschlossene Mengen in IR sein sollen, wird's etwas mühsam mit einer Lösung, die alle Fälle aufnotiert. Am ehesten käme da ein Induktionsbeweis in Frage.